Wycena opcji za pomocą funkcji charakterystycznej — wyjaśnienie
Zrozum, jak neutralne względem ryzyka funkcje charakterystyczne kodują rozkłady, wspierają odwracanie Fouriera i stają się cenami opcji dzięki transformacjom wypłat
Bezpośrednia odpowiedź
Funkcja charakterystyczna φ(u)=E[e^{iuX}] jednoznacznie koduje rozkład ceny logarytmicznej przy wybranej mierze wyceny. Odwracanie Fouriera łączy tę transformatę z przetransformowaną wypłatą, aby odtworzyć zdyskontowaną wartość opcji
Funkcja charakterystyczna przechowuje rozkład
Dla rzeczywistej zmiennej losowej X funkcja φ(u)=E[e^{iuX}] jest określona dla każdej rzeczywistej częstotliwości u, ponieważ moduł zespolonej eksponenty wynosi jeden
W przeciwieństwie do funkcji tworzącej momenty nie wymaga skończonych momentów wykładniczych tylko po to, aby istnieć na osi rzeczywistej
Jej wartości dla kolejnych częstotliwości jednoznacznie określają rozkład X i jednocześnie kodują położenie, rozproszenie, asymetrię, ogony i nieciągłości
Najpierw miara wyceny i zmienna stanu
Dla europejskiej wypłaty h(S_T) podstawowa cena neutralna względem ryzyka to E^Q[e^{-∫r ds}h(S_T)] przy założeniach wspierających tę miarę
Metody transformacyjne często ustawiają X_T=log S_T lub logarytm ceny forward, ale dyskontowanie i dokładna konwencja numeraire muszą pasować do transformaty
Funkcji charakterystycznej z miary fizycznej nie można wstawić do ceny neutralnej względem ryzyka, jeśli zmiana miary nie została prawidłowo określona
Odwracanie Fouriera odzyskuje prawdopodobieństwa i gęstości
Gdy zachodzi wystarczająca regularność, odwrotna całka Fouriera odtwarza gęstość z φ; dystrybuanty również można odzyskać za pomocą wzorów odwracania
Odwracanie Gila–Pelaeza wyraża prawdopodobieństwa ogonowe lub skumulowane przez całkę obejmującą część urojoną e^{-iux}φ(u)/u
Są to całki niewłaściwe, więc zachowanie w pobliżu zera i przy dużych częstotliwościach wymaga granic analitycznych i ostrożności numerycznej
Wypłaty wymagają własnej obsługi transformacyjnej
Wypłata calla rośnie wraz z S_T, więc jej transformata Fouriera nie jest całkowalna na zwykłej osi rzeczywistej bez tłumienia lub przesunięcia konturu
Można transformować cenę tłumioną, transformować wypłatę w odpowiednim pasie albo rozłożyć calla na zdyskontowane prawdopodobieństwa aktywa i ceny wykonania
Różne wzory mogą być matematycznie równoważne, a jednocześnie używać innych znaków, normalizacji, zmiennych stanu i argumentów zespolonych
Traktowalność modelu wchodzi przez φ
Black–Scholes, Heston, afiniczne dyfuzje ze skokami i wiele modeli Lévy'ego dostarcza funkcje charakterystyczne łatwiej niż gęstości przejścia
Funkcja charakterystyczna odzwierciedla założenia modelu, parametry neutralne względem ryzyka, horyzont, stan początkowy oraz wszelkie korelacje lub kompensatory skoków
Znajomość φ jest przewagą obliczeniową, a nie dowodem, że wybrana dynamika pasuje do obserwowanych cen opcji lub przyszłych zwrotów
Odwracanie numeryczne tworzy budżet błędu
Skończone granice całkowania tworzą błąd obcięcia, odstęp częstotliwości tworzy błąd kwadratury, a siatki FFT mogą dodawać aliasing i błąd interpolacji
Oscylacyjne skracanie i gałęzie logarytmu zespolonego mogą tworzyć gładko wyglądające, ale błędne ceny, jeśli są obsługiwane niespójnie
Kwadratura adaptacyjna, zmienne kontrolne, tłumienie, alternatywne wzory i wyższa precyzja rozwiązują różne błędy, a nie jeden uniwersalny defekt
Walidacja musi wykraczać poza jedną cenę
Sprawdź φ(0)=1, symetrię sprzężenia φ(−u)=overline{φ(u)} i moment martyngałowy wymagany przez konwencję ceny aktywa
Porównaj wynik z Blackiem–Scholesem lub inną znaną granicą, parytetem put-call, monotonicznością, wypukłością i niezależną metodą numeryczną
Następnie zmieniaj granice, siatki, tłumienie, tolerancje, zapadalności i strike'i; stabilne cyfry powinny przetrwać rozsądne zmiany obliczeniowe
Częste pytania
Czym jest funkcja charakterystyczna?
To φ(u)=E[e^{iuX}], zespolona transformata, która jednoznacznie określa rozkład prawdopodobieństwa X
Dlaczego używa się jej do wyceny opcji?
Wiele realistycznych modeli udostępnia φ w postaci zamkniętej lub częściowo zamkniętej, nawet gdy ich gęstość przejścia i wartość oczekiwana wypłaty nie są bezpośrednio dostępne
Czy funkcja charakterystyczna jest tym samym co funkcja tworząca momenty?
Nie. Funkcja charakterystyczna używa argumentu urojonego i istnieje dla rzeczywistego u, podczas gdy MGF może zawieść, gdy momenty wykładnicze są rozbieżne
Czy mogę wycenić calla przez bezpośrednie odwrócenie φ?
Nie bez obsługi wypłaty, miary, dyskontowania i całkowalności; calle zwykle wymagają tłumienia, przesunięcia konturu lub rozkładu na prawdopodobieństwa
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Funkcja charakterystyczna przechowuje rozkład?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
An option-pricing method that expands a terminal density on a finite interval, obtains cosine coefficients from its characteristic function, and combines them with payoff coefficients.
Czytaj szczegółowy przewodnikMartingaleA stochastic process whose next value has conditional expectation equal to its current value under specified information and measure; it need not be constant or riskless.
Czytaj szczegółowy przewodnikAffine processA Markov process whose conditional exponential transform has a logarithm affine in the current state on its valid argument domain, often governed by generalized Riccati equations.
Czytaj szczegółowy przewodnik