Metoda COS do wyceny opcji — wyjaśnienie
Dowiedz się, jak metoda COS łączy uciętą gęstość, współczynniki cosinusowe Fouriera, współczynniki wypłaty i kontrolę zbieżności, aby wyceniać opcje
Bezpośrednia odpowiedź
Metoda COS ogranicza rozkład ceny logarytmicznej do skończonego przedziału, rozwija jego gęstość w szereg cosinusowy i uzyskuje współczynniki z funkcji charakterystycznej. Współczynniki wypłaty zamieniają następnie rozwinięcie w cenę opcji
COS jest metodą wyceny opartą na szeregu Fouriera
Załóżmy, że końcowy stan logarytmiczny X ma znaną funkcję charakterystyczną, a opcja wypłaca v(X) w terminie
Po dyskontowaniu przy zgodnej mierze wyceny szukana wartość jest całką v(x) względem warunkowej gęstości X
COS przybliża tę całkę skończonym szeregiem cosinusowym, zamiast symulować ścieżki lub rozwiązywać wstecz siatkę cen
Najpierw obcina się nieskończony zakres stanu
Ponieważ ceny logarytmiczne zwykle leżą na osi rzeczywistej, metoda wybiera skończony przedział [a,b] zawierający większość ekonomicznie istotnej masy prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo poza [a,b] tworzy błąd obcięcia dziedziny, zanim pominięte zostaną jakiekolwiek składniki cosinusowe
Zbyt wąski przedział pomija ogony, a niepotrzebnie szeroki wymaga większej liczby składników do rozdzielenia tych samych cech lokalnych
Funkcje charakterystyczne dostarczają współczynników gęstości
Na [a,b] gęstość rozwija się w cos(kπ(x−a)/(b−a)) dla nieujemnych całkowitych k
Jej współczynniki cosinusowe przybliża się przez Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, unikając jawnego odtwarzania pełnej gęstości
Składnik zerowej częstotliwości otrzymuje połowę wagi w zwykłej sumie primed, co jest małą konwencją istotnie wpływającą na poziom ceny
Współczynniki wypłaty dopełniają wzór ceny
Każdy współczynnik gęstości mnoży się przez odpowiednią całkę v(x) względem bazy cosinusowej na [a,b]
Dla europejskich calli i putów te współczynniki wypłaty mają postać analityczną; inne wypłaty mogą wymagać stabilnego całkowania numerycznego
Po rozdzieleniu współczynników modelu i wypłaty wiele strike'ów lub kontraktów może ponownie wykorzystać znaczną część tej samej pracy transformacyjnej
Szybka zbieżność jest warunkowa
Gładkie gęstości z szybko zanikającymi współczynnikami cosinusowymi mogą zapewnić bardzo szybką, często wykładniczą zbieżność wraz ze wzrostem liczby składników N
Krótkie zapadalności, ostre gęstości, atomy, grube ogony lub nieciągłe wypłaty mogą spowolnić zbieżność i tworzyć oscylacje przy punktach niegładkich
Sława metody dotycząca szybkości jest więc wynikiem zależnym od regularności, a nie stałą gwarancją dokładności dla każdego modelu i wypłaty
Wybór przedziału jest częścią budżetu błędu
Częsta heurystyka używa kumulantów, np. c₁±L√(c₂+√c₄), gdy kumulanty istnieją i konwencja ma zastosowanie
Skala L nie jest uniwersalna, a niewiarygodne lub nieistniejące wyższe kumulanty mogą uczynić znaną regułę przedziału mylącą
Ograniczenia prawdopodobieństwa ogona, szersze przedziały odniesienia i stabilność przy wyborze [a,b] dostarczają silniejszych dowodów niż jedno ustawienie heurystyczne
Weryfikacja oddziela błąd zakresu od błędu szeregu
Zwiększ [a,b], utrzymując N wystarczająco duże, aby zdiagnozować obcięcie dziedziny, a następnie zwiększ N na stabilnym przedziale, aby sprawdzić zbieżność szeregu
Sprawdź funkcję charakterystyczną w zerze, konwencję połowy wagi, dyskontowanie, współczynniki wypłaty, parytet, granice, monotoniczność i wypukłość
Przed użyciem COS w pętlach kalibracji porównaj wybrane ceny z bezpośrednią kwadraturą Fouriera lub inną niezależną metodą
Częste pytania
Czym jest metoda COS?
Jest metodą wyceny opcji, która przybliża końcową gęstość szeregiem cosinusowym Fouriera, którego współczynniki pochodzą z funkcji charakterystycznej
Czy COS jest tym samym co wycena FFT?
Nie. Obie metody używają transformat, ale COS oblicza rozwinięcie cosinusowe na wybranym przedziale stanu, zamiast wymagać tej samej powiązanej siatki strike'ów FFT
Jak wybrać przedział [a,b]?
Częste są heurystyki kumulantów, ale przedział należy zweryfikować informacją o ogonie i stabilnością cen, ponieważ nie ma jednej uniwersalnej szerokości
Dlaczego wycena COS może być niedokładna?
Zbyt wąski przedział, zbyt mało składników, słaba regularność gęstości, nieciągłości wypłaty, błędy współczynników lub nieprawidłowe dane transformacji mogą wywołać błąd
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — COS jest metodą wyceny opartą na szeregu Fouriera?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
The complex transform φ(u)=E[e^{iuX}], which exists for every real frequency and uniquely determines the probability distribution of X.
Czytaj szczegółowy przewodnikMartingaleA stochastic process whose next value has conditional expectation equal to its current value under specified information and measure; it need not be constant or riskless.
Czytaj szczegółowy przewodnikAffine processA Markov process whose conditional exponential transform has a logarithm affine in the current state on its valid argument domain, often governed by generalized Riccati equations.
Czytaj szczegółowy przewodnik