Rachunek Stratonovicha a rachunek Itô — wyjaśnienie
Dowiedz się, czym różnią się stochastyczne całki Stratonovicha i Itô, jak przeliczać ich składniki dryfu oraz dlaczego modele finansowe muszą wskazywać przyjętą konwencję
Bezpośrednia odpowiedź
Rachunek Itô i rachunek Stratonovicha opisują tę samą odpowiednio przekształconą dynamikę stochastyczną, ale oceniają zaszumione całandy w różnych punktach każdego przedziału. Przekształcenie dodaje człon dryfu z wariacji kwadratowej, dlatego równanie jest niepełne, dopóki nie zostanie podana jego konwencja całkowania
Punkt próbkowania zmienia całkę
Całka Itô wykorzystuje informację z lewego końca każdego przedziału czasowego. Dzięki temu jej całand jest przewidywalny, a całka ma własność martyngałową przy standardowych założeniach
Całka Stratonovicha wykorzystuje granicę w stylu punktu środkowego. W przypadku gładkich zmian współrzędnych jest bliższa zwykłej regule łańcuchowej
Żadna z tych notacji nie jest automatycznie bardziej realistyczna. Właściwa konwencja wynika z granicy modelowania, przepływu informacji i reprezentowanej wielkości
Przekształcenie konwencji zmienia dryf
Dla jednowymiarowej dyfuzji dX = a(X)dt + b(X)∘dW w postaci Stratonovicha staje się dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW w postaci Itô
Dodatkowy człon nie jest uznaniową korektą. Wynika z kowariacji kwadratowej między całandem zależnym od stanu a ruchem Browna
Gdy b jest stałe, b' wynosi zero i obie postaci są zgodne. Zależna od stanu zmienność jest miejscem, w którym ciche mieszanie konwencji staje się kosztowne
Przykład szumu multiplikatywnego ujawnia różnicę
Przyjmij b(X) = σX oraz zerowy dryf Stratonovicha. Odpowiadający mu dryf Itô wynosi 1/2σ²X
Użycie σ = 40% daje korektę równą 8% X rocznie, przed uwzględnieniem osobno określonego dryfu ekonomicznego
Ta liczba jest zmianą reprezentacji, a nie oczekiwaną stopą zwrotu z akcji ani zbywalną alfą. Model finansowy nadal musi określić swoją miarę, koszt utrzymania, dywidendy i ograniczenia
Modele wyceny zwykle podają dynamikę Itô
Modele wyceny aktywów w czasie ciągłym często wykorzystują procesy Itô, ponieważ samofinansujące się strategie handlowe są dostosowane do informacji dostępnej przed kolejnym wstrząsem
Lemat Itô, miary martyngałowe i standardowe wyprowadzenie Blacka–Scholesa są zapisane w tej konwencji
Modele fizyczne wyprowadzone z granic zaszumienia o barwie mogą naturalnie prowadzić do równań Stratonovicha. Przekształć je przed połączeniem z obliczeniem wyceny lub zabezpieczenia opartym na Itô
Przekształcenie nie usuwa ryzyka modelu
Równanie może być poprawnie przekształcone, a mimo to pomijać skoki, zmienność stochastyczną, płynność, dyskretne zabezpieczanie lub błędnie określone parametry
Układy wielowymiarowe wymagają pełnego jakobianu i struktury kowariancji, a nie skalarnego skrótu pół-razy-b-razy-b-prim
Zawsze podawaj SDE, konwencję całkowania, miarę prawdopodobieństwa, jednostkę czasu i interpretację szumu przed porównaniem wyników
Częste pytania
Czy rachunek Stratonovicha jest poprawniejszy niż rachunek Itô?
Nie. Po poprawnym przekształceniu są równoważnymi opisami. Właściwa postać zależy od tego, jak model stochastyczny powstaje i jak będzie używany
Dlaczego dryf zmienia się podczas przekształcenia?
Całand może poruszać się wspólnie z ruchem Browna, gdy zależy od stanu. Jego kowariacja kwadratowa pozostaje jako skończona poprawka dryfu
Czy mogę używać zwykłej reguły łańcuchowej z procesem Itô?
Nie bezpośrednio. Lemat Itô dodaje człon drugiego rzędu wynikający z wariacji kwadratowej. Notacja Stratonovicha przywraca regułę wyglądającą zwyczajnie, ale tylko przy użyciu własnej konwencji
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej odpowiada temu przewodnikowi — Punkt próbkowania zmienia całkę?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
A stochastic chain rule expanding a function's change into time, first-order, and second-order terms, with the extra term arising from Brownian quadratic variation.
Czytaj szczegółowy przewodnikQuadratic variationThe limit of sums of squared process increments over increasingly fine partitions, measuring accumulated second-order path variation and generating Itô corrections.
Czytaj szczegółowy przewodnikGirsanov theoremA result that shifts Brownian drift through an absolutely continuous change of measure under suitable conditions while preserving the diffusion structure.
Czytaj szczegółowy przewodnik