Twierdzenie Girsanova w wycenie opcji — wyjaśnienie
Dowiedz się, jak twierdzenie Girsanova zmienia dryf Browna między miarami prawdopodobieństwa, dlaczego zmienność pozostaje stała i jak powstaje dynamika risk-neutral
Bezpośrednia odpowiedź
Twierdzenie Girsanova pokazuje, jak absolutnie ciągła zmiana miary przesuwa dryf procesu Browna, zachowując jego dyfuzję. Przy określonych warunkach zamienia dynamikę fizyczną w dynamikę pricing
Dynamika fizyczna zawiera dryf oczekiwanego zwrotu
Przy mierze fizycznej P akcja może spełniać dS/S = μdt + σdWᴾ, gdzie μ oznacza modelowany oczekiwany zwrot
Ten dryf ma znaczenie dla prognoz i wyboru portfela, ale wartość opcji bez arbitrażu nie powinna zależeć od arbitralnego szacunku μ w kompletnym modelu dyfuzyjnym
Przejście od prawdopodobieństw fizycznych do pricing probabilities wymaga więcej niż zastąpienia jednego symbolu innym. Wymaga poprawnej transformacji miary
Proces gęstości przeważa całe ścieżki
Pochodna Radona–Nikodyma określa, jak nowa miara waży zdarzenia względem starej do każdego czasu
Dla modeli Browna gęstość zwykle zapisuje się jako wykładniczą stochastyczną zbudowaną z procesu oznaczanego często λ
Gęstość musi pozostać dodatnia i mieć wartość oczekiwaną równą jeden. W przeciwnym razie proponowane wyrażenie może nie definiować równoważnej miary prawdopodobieństwa
Ruch Browna zyskuje kompensujący dryf
Przy poprawnej gęstości Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt staje się ruchem Browna przy nowej mierze Q, przy jednej wspólnej konwencji znaku
Podstawienie dWᴾ = dWᵠ − λdt przesuwa dryf każdego procesu wystawionego na ten szok Browna
Współczynnik zmienności mnożący dW nie znika. Równoważne zmiany miary dyfuzji zmieniają dryf, a nie chwilową strukturę kowariancji
Dryf risk-neutral wynika z finansowania i carry
Dla akcji bez dywidendy wybierz λ tak, aby dryf Q stał się krótką stopą r. Przy stopie dywidendy q dryf ex-dividend wynosi zwykle r − q
Wtedy zdyskontowany aktyw total-return jest martyngałem Q, a wypłata replikowalna może być wyceniona jako zdyskontowana wartość oczekiwana Q
Wynik nie mówi, że akcja rzeczywiście zarabia r w świecie rzeczywistym. Mówi, jak jej dryf wygląda przy wybranej mierze pricing
Lambda oznacza cenę ryzyka Browna
W prostym przypadku stałych współczynników λ = (μ − r) / σ przy podanej konwencji znaku i bez dywidend
Przy wielu źródłach ryzyka wektor cen ryzyka przesuwa dryf przez macierz obciążeń zmiennością. Nie każdy żądany dryf da się osiągnąć, gdy ekspozycje nie mają pełnego rzędu
Na rynkach niekompletnych składniki ceny ryzyka mogą pozostać nieokreślone przez aktywa będące przedmiotem handlu, tworząc więcej niż jedną dopuszczalną miarę martyngałową
Twierdzenie potrzebuje warunków całkowalności
Warunki Novikova, Kazamakiego albo podobne są powszechnie używane, aby zapewnić, że wykładnicza stochastyczna jest prawdziwym martyngałem, a nie tylko lokalnym martyngałem
Równoważność zachowuje również zdarzenia o prawdopodobieństwie zero. Transformacja nie może uczynić rzeczywiście niemożliwej ścieżki możliwą, pozostając równoważną
Wybuchowe współczynniki, ścisłe lokalne martyngały, nieskończone horyzonty albo słaba regularność mogą unieważnić powierzchowne zastosowanie wzoru
Skoki i implementacja wymagają szerszej zmiany
Dla procesów skokowych zmiana miary może zmieniać intensywność skoków i rozkład ich wielkości, a także ciągły dryf
Skalibrowane modele pricing określają parametry risk-neutral bezpośrednio, ale połączenie ich z szacunkami fizycznymi nadal wymaga modelu premii za ryzyko
Przed interpretacją przekształconej dynamiki określ pierwotną miarę, docelową miarę, gęstość, konwencję znaku, numeraire, horyzont i warunki
Częste pytania
Co robi twierdzenie Girsanova w finansach?
Podaje warunki zmiany miary prawdopodobieństwa, tak aby zmienił się dryf Browna, a zdyskontowane ceny aktywów zbywalnych mogły stać się martyngałami
Czy twierdzenie Girsanova zmienia zmienność?
Przy równoważnej zmianie dyfuzji Browna przesuwa dryf, zachowując chwilowy współczynnik dyfuzji i kowariancję
Czym jest cena ryzyka rynkowego?
To proces używany w gęstości do przełożenia ekspozycji na ryzyko na korektę dryfu między miarą fizyczną i pricing
Czy twierdzenie Girsanova można stosować do skoków?
Tak, przez szersze wyniki dla semimartyngałów, ale intensywność skoków i prawo ich wielkości również mogą się zmienić i muszą być określone
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Dynamika fizyczna zawiera dryf oczekiwanego zwrotu?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
The multiplicative process solving dZ = Z₋dX; for a continuous local martingale it is the ordinary exponential corrected by half its quadratic variation.
Czytaj szczegółowy przewodnikExtrinsic valueThe portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Czytaj szczegółowy przewodnikGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Czytaj szczegółowy przewodnik