Wycena opcji metodą Fouriera Carr–Madana — wyjaśnienie
Dowiedz się, jak tłumienie Carr–Madana, zespolone przesunięte funkcje charakterystyczne, siatki FFT i kontrola błędów numerycznych prowadzą do cen opcji
Bezpośrednia odpowiedź
Wycena Carr–Madana mnoży funkcję ceny calla przez wykładniczy czynnik tłumiący, aby uzyskać użyteczną transformatę Fouriera. Przesunięta funkcja charakterystyczna dostarcza następnie transformaty, a FFT może wspólnie odtworzyć ceny dla logarytmów cen wykonania
Metoda jest silnikiem wyceny, a nie modelem
Carr–Madan zaczyna od neutralnej względem ryzyka funkcji charakterystycznej końcowej ceny logarytmicznej oraz funkcji ceny europejskiego calla dla różnych logarytmów cen wykonania
Porządkuje tę samą zdyskontowaną wartość oczekiwaną w przestrzeni Fouriera, gdzie obliczenia podobne do splotu stają się iloczynami, a całki są regularne
Metoda nie wybiera zmienności, skoków ani premii za ryzyko; te elementy wchodzą przez zależną od modelu funkcję charakterystyczną
Tłumienie naprawia transformatę ceny calla
Gdy logarytm ceny wykonania k dąży do minus nieskończoności, call zbliża się do obszaru wartości wewnętrznej podobnego do forwardu i nie jest całkowalny po całej osi k
Pomnożenie C(k) przez e^{αk} dla odpowiednio dodatniego α sprawia, że funkcja tłumiona zanika na obu krańcach przy spełnieniu wymaganego warunku momentu
Parametr tłumienia jest narzędziem analitycznym, a nie preferencją rynkową ani dodatkowym parametrem modelu do kalibracji
Zespolone przesunięcie łączy cenę z rozkładem
W typowej konwencji transformata Fouriera e^{αk}C(k) wykorzystuje funkcję charakterystyczną ceny logarytmicznej w punkcie u−i(α+1)
Mianownik przetransformowanej wypłaty calla zawiera α i częstotliwość u; znaki zmieniają się, jeśli zmieni się konwencja Fouriera lub definicja ceny logarytmicznej
Zespolone przesunięcie wymaga, aby E[S_T^{α+1}] było skończone, więc dowolnie duże α może wyjść poza dziedzinę momentów modelu
FFT tworzy powiązaną parę siatek
Całkę można obliczyć osobno dla każdego strike'a, podczas gdy FFT w jednej operacji oblicza regularnie rozmieszczone pasmo logarytmów cen wykonania
Przy N punktach odstęp częstotliwości η i odstęp logarytmu ceny wykonania λ spełniają wzajemną zależność często zapisywaną jako λη=2π/N
Szerszy zakres strike'ów oznacza przy stałym N większe odstępy, więc zasięgu i rozdzielczości nie można wybierać niezależnie
Kilka błędów może wyglądać jak zachowanie modelu
Obcięcie nieskończonej całki po częstotliwości tworzy błąd ogona, a jej dyskretyzacja — błąd kwadratury
Okresowe rozszerzenie wynikające niejawnie z transformacji dyskretnej tworzy aliasing, a użycie strike'ów spoza siatki dodaje błąd interpolacji
Wagi Simpsona mogą w niektórych ustawieniach poprawić kwadraturę, ale nie naprawią niewystarczającego zakresu, nieprawidłowych momentów ani niestabilnej funkcji charakterystycznej
Alfa należy wybierać wewnątrz pasa momentów
Alfa musi być wystarczająco duża, aby tłumić wypłatę, ale na tyle mała, aby przesunięta funkcja charakterystyczna istniała i pozostawała stabilna numerycznie
Dobre wybory zależą od zapadalności, parametrów modelu, zachowania ogona i konwencji transformaty; nie ma gwarancji istnienia jednej uniwersalnej wartości alfa
Przetestuj przedział dopuszczalnych wartości alfa i wymagaj zgodności cen w ramach docelowej tolerancji, zamiast optymalizować jeden wynik
Zastosowanie produkcyjne wymaga niezależnych kontroli
Najpierw odtwórz ceny Blacka–Scholesa, a następnie sprawdź parytet put-call, monotoniczność względem strike'a, wypukłość, ograniczenia i warunek martyngałowy
Zwiększaj osobno N, zakres całkowania i precyzję, aby rozpoznać zbieżność, zamiast zmieniać wszystkie parametry naraz
Porównaj wybrane strike'i z bezpośrednią kwadraturą i inną metodą wyceny; szybkość ma znaczenie dopiero po zrozumieniu budżetu błędu
Częste pytania
Co oblicza metoda Carr–Madana?
Wykorzystuje neutralną względem ryzyka funkcję charakterystyczną i odwracanie Fouriera do obliczania cen opcji europejskich, często dla wielu strike'ów jednocześnie
Dlaczego cena calla jest tłumiona?
Nietłumiona funkcja ceny calla nie jest całkowalna po wszystkich logarytmach cen wykonania, więc wykładnicze tłumienie daje jej użyteczną transformatę Fouriera
Czy FFT jest wymagana?
Nie. Całkę Carr–Madana można obliczyć przez bezpośrednią kwadraturę; FFT jest wydajną implementacją siatkową z własnymi ograniczeniami
Jak wybrać alfę?
Wybierz ją wewnątrz dziedziny skończonych momentów modelu, a następnie sprawdź stabilność cen w rozsądnym dopuszczalnym zakresie i przy różnych ustawieniach numerycznych
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Metoda jest silnikiem wyceny, a nie modelem?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
A stochastic process whose next value has conditional expectation equal to its current value under specified information and measure; it need not be constant or riskless.
Czytaj szczegółowy przewodnikCharacteristic functionThe complex transform φ(u)=E[e^{iuX}], which exists for every real frequency and uniquely determines the probability distribution of X.
Czytaj szczegółowy przewodnikCOS methodAn option-pricing method that expands a terminal density on a finite interval, obtains cosine coefficients from its characteristic function, and combines them with payoff coefficients.
Czytaj szczegółowy przewodnik