Test J Hansena: ograniczenia nadidentyfikujące w GMM

Uogólniona metoda momentów (GMM) estymuje parametry, sprowadzając próbne odpowiedniki teoretycznych warunków momentowych jak najbliżej zera. W modelu zmiennych instrumentalnych warunek momentowy może oznaczać, że proponowany instrument przy prawdziwej wartości parametru jest nieskorelowany z błędem strukturalnym. Inne modele wykorzystują implikacje równań wyceny aktywów, równań Eulera lub ograniczeń danych panelowych.

Jeśli model ma więcej warunków momentowych niż nieznanych parametrów, po estymacji pozostają ograniczenia, które można sprawdzić. Statystyka J Hansena podsumowuje, jak daleko dopasowane momenty z próby pozostają od zera po zastosowaniu określonej macierzy wag. Jest to łączny test specyfikacji w ramach danego modelu. Nie jest bezpośrednim audytem, który może oznaczyć pojedynczy instrument jako „trafny” lub „nietrafny”.

To rozróżnienie ma znaczenie w finansach i badaniach ilościowych. Model strategii transakcyjnej lub wyceny aktywów może dostarczać wielu warunków momentowych, ale wynik testu zależy od stóp zwrotu, czynników, instrumentów, dat i założeń kowariancyjnych definiujących te momenty. Mała wartość p może przemawiać przeciw całemu zestawowi założeń; duża wartość p nie jest niezależnym dowodem, że wszystkie są spełnione.

Niech \(g_t(\theta)\) oznacza wektor wkładów do momentów o \(q\) składowych dla daty \(t\), obliczony dla wektora parametrów \(\theta\). Średnia z próby wynosi:

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

GMM wybiera \(\hat\theta\), aby zminimalizować ważoną odległość kwadratową, na przykład:

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

gdzie \(W_T\) jest dodatnią macierzą wag. Wagi określają, jak rozbieżności między warunkami momentowymi wpływają na kryterium. Przy podanych założeniach dotyczących próby efektywny GMM estymuje wagi powiązane z odwrotnością macierzy długookresowej kowariancji momentów. Test J wykorzystuje zminimalizowane kryterium, a nie wartość funkcji celu dla parametrów wybranych bez estymacji.

Wzór jest zwięzły, ale jego elementów nie można stosować zamiennie. Zmiana instrumentów zmienia \(g_t\); zmiana próby zmienia średnią; zmiana estymatora kowariancji zmienia wagi; zmiana estymatora może też zmienić dopasowane parametry. Dlatego do odtworzenia statystyki J nie wystarczy podać liczby i określić jej jako „odpornej”.

Jeśli jest \(q\) niezależnych warunków momentowych i \(k\) parametrów lokalnie zidentyfikowanych, standardowa liczba stopni swobody dla nadidentyfikacji wynosi \(q-k\). Na przykład trzy niezależne momenty użyte do estymacji dwóch parametrów pozostawiają jedno ograniczenie nadidentyfikujące. Przy hipotezie zerowej, że wszystkie momenty populacyjne są spełnione, poprawnie ważoną statystykę J porównuje się asymptotycznie z rozkładem chi-kwadrat o takiej liczbie stopni swobody.

Gdy liczba momentów równa się liczbie parametrów, model jest dokładnie zidentyfikowany, a dopasowane momenty można zazwyczaj sprowadzić do zera. Nie ma dodatkowych ograniczeń do oceny przez statystykę J, więc stopnie swobody wynoszą zero i test nadidentyfikacji nie jest dostępny. Większa liczba parametrów niż niezależnych momentów oznacza odrębny problem identyfikacji, a nie ujemne stopnie swobody ani sensowny test J.

Należy liczyć efektywne, niezależne ograniczenia momentowe, a nie tylko kolumny w wynikach programu. Zbędne instrumenty lub liniowo zależne momenty mogą obniżyć efektywną rangę. Zwykły rozkład chi-kwadrat wymaga także identyfikacji i innych warunków dużej próby. Nominalne \(q-k\) nie naprawi osobliwej ani źle oszacowanej macierzy kowariancji momentów.

Załóżmy, że model wykorzystuje trzy warunki momentowe do estymacji dwóch parametrów, więc standardowa liczba stopni swobody wynosi \(3-2=1\). Oprogramowanie raportuje statystykę J równą \(5.4\), obliczoną z użyciem procedury ważenia zaprojektowanej tak, by była zgodna z przyjętymi założeniami kowariancji. Przy standardowym rozkładzie chi-kwadrat z jednym stopniem swobody wartość p wynosi około \(0.020\). Przy ustalonym wcześniej poziomie 5% badacz odrzuciłby łączną hipotezę zerową, że wszystkie trzy momenty populacyjne są równe zeru.

Ten wniosek jest węższy niż stwierdzenie „instrument 2 jest nietrafny”. Statystyka J to jedna ważona odległość dla całego układu, a test nie wskazuje, który moment powoduje konflikt. Taki wynik może oznaczać nietrafny instrument, błędną specyfikację równania strukturalnego, pominiętą dynamikę, niewłaściwy model kowariancji albo inne naruszenie utrzymywanej specyfikacji. Do zbadania przyczyny potrzebne są dalsze testy diagnostyczne i wiedza merytoryczna.

Jeśli wartość p wynosiłaby \(0.20\), poprawny wniosek brzmiałby: test nie odrzuca łącznych ograniczeń na wybranym poziomie. Nie oznacza to, że „trafność instrumentów została dowiedziona”. Test może nie odrzucić, bo ograniczenia są wiarygodne, ma małą moc albo próba jest za mała lub zbyt zaszumiona, by wykryć naruszenia. Próg należy ustalić przed analizą wielu wariantów modelu; poszukiwanie akceptowalnej wartości p tworzy problem selekcji.

Hipoteza zerowa to zbiór ograniczeń populacyjnych interpretowany w ramach modelu i warunków asymptotycznych, które uzasadniają rozkład odniesienia. Gdy J odrzuca, co najmniej część utrzymywanego układu trudno pogodzić z zaobserwowaną próbą przy wagach zastosowanych w teście. Sam test nie rozróżni błędnego warunku wyłączenia od niewłaściwej postaci funkcyjnej, pominiętej zależności od stanu, błędu konstrukcji danych czy nieodpowiedniego oszacowania kowariancji długookresowej.

Test nie ustanawia też związku przyczynowego. W projekcie IV test nadidentyfikacji może ocenić, czy dodatkowe ograniczenia są łącznie zgodne ze sobą przy danym modelu. Nie dowodzi warunku wyłączenia dla każdego instrumentu, zwłaszcza jeśli wszystkie instrumenty mogą dzielić to samo naruszenie. Trafność instrumentu i warunek wyłączenia to różne kwestie: do trafności stosuj diagnostykę pierwszego etapu i słabej identyfikacji, a ekonomiczny mechanizm uzasadniający wyłączenie opisz oddzielnie.

W liniowym zastosowaniu do wyceny aktywów statystyka typu J może testować łączne ograniczenia cenowe wynikające z danego modelu czynnikowego i zbioru aktywów testowych. Odrzucenie nie wskazuje automatycznie brakującego czynnika ani nie dowodzi, że inna strategia zbywalna przyniesie zysk. Brak odrzucenia nie potwierdza prawdziwości ekonomicznej modelu. Przewodnik Fama–MacBeth omawia powiązaną procedurę wyznaczania cen ryzyka w przekroju i jej ograniczenia wnioskowania.

Klasyczny test Sargana powstał w estymacji zmiennych instrumentalnych przy restrykcyjnych założeniach o kowariancji, zwykle homoskedastycznych błędach. Test J Hansena to statystyka nadidentyfikacji GMM oparta na oszacowanej kowariancji momentów; może uwzględniać heteroskedastyczność, a przy odpowiednim oszacowaniu kowariancji długookresowej także zależność w czasie. Sama nazwa „Hansen” nie zapewnia odporności na każdą błędną specyfikację. Kowariancja i wagi powinny odpowiadać procesowi momentów.

W przypadku momentów szeregów czasowych zależność seryjna zmienia długookresową wariancję średniej z próby. Estymator HAC, taki jak Newey–West, może służyć do właściwego obliczenia kowariancji, jeśli jego założenia i wybór opóźnień pasują do danych. Dane panelowe lub obserwacje zgrupowane mogą wymagać innej konstrukcji kowariancji. Korekta kowariancji zastosowana tylko do błędów standardowych współczynników nie oznacza automatycznie, że funkcję celu J zbudowano z odpowiednią macierzą wag.

GMM jednoetapowe, dwuetapowe i iteracyjne mogą estymować parametry przy użyciu różnych wag. W efektywnych procedurach dwuetapowych oszacowane wagi same wnoszą niepewność w skończonej próbie; błędy standardowe i działanie testu mogą być niestabilne, zwłaszcza gdy liczba momentów jest duża względem liczby obserwacji. Poprawki Windmeijera dla małych prób dotyczą estymacji wariancji w określonych liniowych, efektywnych procedurach dwuetapowego GMM. Nie są uniwersalną korektą każdej statystyki J.

Test J nie bada siły instrumentów. Instrumenty o małej zawartości informacyjnej mogą sprawić, że estymacje parametrów i standardowe przybliżenia będą niewiarygodne. Należy stosować metody przeznaczone do słabej identyfikacji, a nie traktować pozornie uspokajającej wartości p testu J jako diagnostyki siły. Kalibracja chi-kwadrat dla dużych prób nie gwarantuje, że krótka próba finansowa zachowuje się jak granica asymptotyczna.

Dodawanie instrumentów lub warunków momentowych może wydawać się korzystne, bo wygląda na dostarczanie większej ilości informacji. W dynamicznym panelowym GMM nadmiar instrumentów może nadmiernie dopasować zmienne endogeniczne i ograniczyć zdolność testów specyfikacji do wykrywania naruszeń. Bardzo wysoka wartość p po zbudowaniu dużego zbioru instrumentów może więc niewiele uspokajać. Podaj ich liczbę, opisz opóźnienia lub okno konstrukcji i, jeśli to właściwe, porównaj wyniki z uzasadnionymi mniejszymi zbiorami lub instrumentami zredukowanymi.

Małe próby, prawie współliniowe momenty, słabe oszacowania kowariancji, parametry na granicy i słaba identyfikacja mogą podważyć podręcznikową interpretację. Wymagają analizy wrażliwości i odpowiedniego alternatywnego wnioskowania, a nie mechanicznego stwierdzenia, że test J „przeszedł”. Jeśli wybór modelu obejmował wiele instrumentów, zakresów opóźnień, czynników lub podziałów próby, należy udokumentować poszukiwania i nie przedstawiać najlepszego wyniku jako ustalonego z góry.

Niektóre procedury dla paneli dynamicznych raportują test różnicowy Hansena lub test C dla podzbioru warunków momentowych, na przykład dodatkowego bloku instrumentów. Koncepcyjnie porównanie zagnieżdżonych modeli sprawdza, czy ten blok dodaje ograniczenia zgodne z pozostałymi utrzymywanymi momentami. Wniosek zależy od reszty specyfikacji; nie jest niezależnym potwierdzeniem każdego instrumentu.

Różnica dwóch statystyk J ma rozkład odniesienia tylko przy spełnieniu odpowiednich warunków zagnieżdżenia, estymacji i kowariancji. Porównywane modele muszą korzystać ze zgodnych prób i definicji momentów; trzeba też wziąć pod uwagę wagi i zachowanie w małej próbie. Moc testu podzbioru może być niska, gdy pełny zbiór instrumentów jest duży. Jeśli testujesz kilka bloków, raportuj cały zestaw porównań zamiast wybierać wyłącznie korzystny wynik.

Podaj próbę, wektor parametrów, definicje momentów, liczbę obserwacji, liczbę i efektywną rangę ograniczeń oraz stopnie swobody. Określ, czy użyto estymatora jednoetapowego, dwuetapowego czy iteracyjnego; jak uzyskano macierz wag; jaką strukturę kowariancji dopuszczono; i czy zastosowano korektę dla małej próby. Podaj statystykę J, rozkład odniesienia, wartość p i próg decyzyjny przyjęty dla analizy.

Przedstaw liczbę i konstrukcję instrumentów, diagnostykę pierwszego etapu lub trafności oraz wrażliwość estymacji na rozsądne zmiany zbioru momentów. Wyjaśnij ekonomiczne uzasadnienie chronologii i wyłączenia dla instrumentów; brak odrzucenia testu nadidentyfikacji go nie zastępuje. W przypadku testu podzbioru dokładnie zdefiniuj ten zbiór i porównanie. Zobacz endogeniczność i zmienne instrumentalne w sprawie założeń IV oraz odporne błędy standardowe i HAC w sprawie kowariancji.

Teoria asymptotyczna GMM Hansena (DOI), test zmiennych instrumentalnych Sargana (DOI), analiza słabej identyfikacji Stocka i Wrighta (DOI), badanie nadmiaru instrumentów Roodmana (DOI), analiza wariancji w dwuetapowym GMM dla małych prób Windmeijera (DOI) oraz estymator kowariancji HAC Neweya i Westa (DOI) dotyczą różnych elementów tej procedury. Ich wyniki obowiązują przy podanych założeniach i nie stanowią ogólnego zatwierdzenia modelu empirycznego.