Fundamentalne twierdzenie wyceny aktywów — wyjaśnienie

Arbitraż zaczyna się bez inwestycji netto, nie może przynieść straty w modelu i ma dodatnią wypłatę w co najmniej jednym istotnym stanie

Wysoki współczynnik Sharpe'a, przewaga statystyczna lub pozornie tania opcja nie są automatycznie arbitrażem, ponieważ strata nadal jest możliwa

Twierdzenie zaczyna się od tego dokładnego warunku na poziomie modelu. Zmiana strategii dopuszczalnych, zasad finansowania lub ograniczeń może zmienić to, czy arbitraż istnieje

Na skończonym rynku jednego okresu przypisz każdemu przyszłemu stanowi nieujemną wagę wartości bieżącej. Każda replikowana wypłata ma cenę równą sumie wypłat pomnożonych przez wagę stanu

Jeśli ściśle dodatnie wagi spełniają wszystkie ceny będące przedmiotem obrotu, portfel o zerowym koszcie nie może dać nieujemnej wypłaty z zyskiem gdziekolwiek

Normalizacja tych wag przez rachunek rynku pieniężnego tworzy prawdopodobieństwa. Ten krok zamienia funkcjonał wyceny w miarę martyngałową

Miara równoważna przypisuje prawdopodobieństwo zero dokładnie tym samym zdarzeniom co miara fizyczna. Zmienia względne wagi, nie wymyślając ani nie usuwając możliwych stanów

To rozróżnienie ma znaczenie, ponieważ wypłata dodatnia tylko w stanie uznanym za niemożliwy nie może wspierać tego samego argumentu arbitrażowego

Nowe wagi są narzędziami wyceny, a nie twierdzeniami, że inwestorzy dosłownie wierzą w ponownie przypisane prawdopodobieństwa

W standardowych modelach skończonych brak arbitrażu jest równoważny istnieniu miary równoważnej, która czyni zdyskontowane ceny aktywów będących przedmiotem obrotu martyngałami

Na ogólnych rynkach ciągłoczasowych znaczenie mają dokładny warunek no-free-lunch i założenia techniczne. Potoczne wersje twierdzenia mogą być zbyt słabe

Przesłanie ekonomiczne pozostaje: spójne ceny można przedstawiać jako warunkowe wartości zdyskontowane przy odpowiedniej mierze wyceny

Rynek jest zupełny, gdy każdą dopuszczalną warunkową wypłatę można wygenerować przez obrót dostępnymi aktywami w modelu

Zupełność odpowiada jednoznaczności miary równoważnej martyngałowej w standardowych ustawieniach. Jedna miara daje wtedy jedną wartość bez arbitrażu dla każdego roszczenia

Jeśli kilka miar pasuje do aktywów będących przedmiotem obrotu, nieosiągalne roszczenia mogą mieć zakres cen bez arbitrażu, dopóki nie doda się dodatkowej preferencji, kalibracji lub kryterium

Dwumianowy model jednej akcji i jednej obligacji ma dwa przyszłe stany i zwykle może replikować dowolną wypłatę w dwóch stanach, więc jego prawdopodobieństwo neutralne względem ryzyka jest jednoznaczne

Idealna dyfuzja Black–Scholesa używa ciągłego obrotu do pokrycia pojedynczego źródła ryzyka Browna, dając znaną cenę replikacji

Dodaj niezbywalną zmienność, skoki, koszty transakcyjne lub ograniczenia obrotu, a dokładna zupełność może zniknąć, nawet gdy użyteczne ceny modelowe pozostają

Brak arbitrażu ogranicza ceny względne, ale nie identyfikuje oczekiwanych zwrotów, częstości zdarzeń ani tego, który skalibrowany model jest ekonomicznie najlepszy

Dwa modele mogą pasować do bieżących cen, a jednak implikować różną dynamikę poza obserwowanymi strike, zapadalnościami lub przyszłymi regułami rekalkibracji

Użyj twierdzenia do oddzielenia spójności od prognozowania. Poprawna miara wyceny może przeszacowywać instrumenty, nie będąc wiarygodną prognozą fizyczną

Określ aktywa będące przedmiotem obrotu, numeraire, informacje, strategie dopuszczalne, finansowanie, zabezpieczenie, koszty i ryzyka, które można faktycznie hedgować

Sprawdź, czy proponowane ceny naruszają statyczne ograniczenia oraz czy deklarowana replikacja przetrwa obrót dyskretny, płynność i niepewność parametrów

Twierdzenie jest fundamentem projektowania modelu, a nie dowodem, że desk może wykonać idealny hedge ani że każde obserwowane kwotowanie jest wolne od arbitrażu