Twierdzenie o reprezentacji martyngałów w finansach — wyjaśnienie
Dowiedz się, jak martyngały stają się całkami stochastycznymi, dlaczego całkowana funkcja staje się zabezpieczeniem oraz jak reprezentacja określa zupełność rynku
Bezpośrednia odpowiedź
Twierdzenie o reprezentacji martyngałów zapisuje odpowiedni martyngał jako jego wartość początkową powiększoną o całkę stochastyczną względem czynników ryzyka. W finansach ta całka staje się dynamicznym zabezpieczeniem, gdy zyski z aktywów będących przedmiotem obrotu rozpinają te same czynniki
Trzeba określić źródło informacji
Martyngał definiuje się względem filtracji F_t, czyli informacji dostępnej do danego czasu
W standardowym twierdzeniu brownowym F_t jest generowana przez ruch Browna i uzupełniona o zwykłe zbiory miary zero
Zmiana filtracji może zmienić wynik: dodatkowa informacja może wprowadzić ryzyka, których podany czynnik nie potrafi reprezentować
Twierdzenie zamienia martyngał w całkę
Dla całkowalnego z kwadratem martyngału brownowego M istnieje przewidywalny proces φ taki, że M_t = M_0 + ∫_0^t φ_u dW_u
Równoważnie, całkowalna z kwadratem zmienna końcowa H spełnia H = E[H] + ∫_0^T φ_u dW_u
Całkowany proces jest jednoznaczny przy odpowiedniej konwencji całkowalności, a jego dokładny wymiar wynika z liczby kierujących ryzyk brownowych
Całkowany proces staje się współczynnikiem zabezpieczenia
Przy mierze wyceny zdyskontowana wartość instrumentu jest martyngałem, gdy spełnione są zwykłe warunki wyceny
Reprezentacja tej wartości względem tego samego szumu, który napędza aktywa będące przedmiotem obrotu, ujawnia ekspozycję, którą trzeba dynamicznie dopasować
Rozwiązanie równania obciążenia zmiennością aktywów mapuje całkowany proces martyngału na zasoby akcji lub innych ryzykownych papierów wartościowych
Reprezentacja łączy się z zupełnością rynku
Jeśli zyski z aktywów będących przedmiotem obrotu rozpinają każdy składnik ryzyka martyngału napędzającego rynek, odpowiednie roszczenia warunkowe można replikować
W dyfuzji brownowej zależy to od rzędu macierzy obciążenia zmiennością, a nie tylko od liczby nazw aktywów
Zupełna reprezentacja wspiera istnienie jednej równoważnej miary wyceny przy standardowych założeniach braku arbitrażu
Dodatkowe ryzyko może przerwać reprezentację przez aktywa będące przedmiotem obrotu
Niehandlowany czynnik brownowy, źródło skoków, chwila niewypłacalności lub rozszerzony przepływ informacji może dodać składnik martyngału, którego aktywa nie rozpinają
Martyngał roszczenia może wtedy zawierać ortogonalną pozostałość, której nie usuwa żadna samofinansująca się strategia w dostępnych papierach wartościowych
Sam martyngał matematyczny może nadal mieć reprezentację w większym zbiorze czynników, podczas gdy rynek finansowy pozostaje niezupełny
Niezupełność zmienia wybór ceny i zabezpieczenia
Bez dokładnej replikacji brak arbitrażu może dopuszczać wiele miar martyngałowych i przedział cen roszczenia
Kryteria minimalnej wariancji, użyteczności, obojętności lub superzabezpieczenia wybierają różne sposoby traktowania nierozpiętego składnika
Wybrane kryterium jest wkładem ekonomicznym, a nie konsekwencją samego twierdzenia o reprezentacji
Weryfikacja wymaga dopasowania każdego założenia
Określ filtrację, miarę prawdopodobieństwa, zbiór czynników, klasę całkowalności, dopuszczalne strategie i macierz zmienności aktywów
Sprawdź przewidywalność i całkowalność z kwadratem całkowanego procesu, a także rząd i stabilność tam, gdzie jest on zamieniany na pozycje
Testuj historycznie pozostałe zyski oddzielnie od kosztów transakcyjnych i błędu dyskretyzacji; mała pozostałość w próbie nie dowodzi teoretycznej zupełności
Częste pytania
Co w prosty sposób mówi twierdzenie o reprezentacji martyngałów?
Mówi, że każdą nową zmienność odpowiedniego martyngału można zbudować przez kumulowanie przewidywalnej ekspozycji na wskazane losowe czynniki
Dlaczego filtracja jest ważna?
Określa, jakie informacje i niespodzianki istnieją; jej rozszerzenie może wprowadzić ryzyko martyngałowe, którego nie reprezentują pierwotne czynniki
Czy reprezentacja martyngału gwarantuje zbywalne zabezpieczenie?
Nie. Czynniki matematyczne muszą być również rozpięte przez zyski z papierów wartościowych, którymi można faktycznie handlować w ramach dopuszczalnych strategii
Jak twierdzenie wiąże się z rynkami zupełnymi?
Rynek jest zupełny, gdy zyski z obrotu mogą reprezentować i replikować każdy istotny martyngał roszczenia w wybranej strukturze informacji
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Trzeba określić źródło informacji?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
A pricing measure equivalent to the physical measure under which properly discounted tradable assets are martingales; its existence is tied to no arbitrage.
Czytaj szczegółowy przewodnikExtrinsic valueThe portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Czytaj szczegółowy przewodnikGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Czytaj szczegółowy przewodnik