Rozwinięcie Cornisha–Fishera dla kwantyli ryzyka
Zrozum, jak Cornish–Fisher koryguje kwantyle normalne za pomocą kumulantów, czym różni się od Edgewortha i dlaczego estymaty ryzyka ogonowego wymagają kontroli monotoniczności i stabilności
Bezpośrednia odpowiedź
Rozwinięcie Cornisha–Fishera przybliża kwantyle rozkładu, korygując referencyjny kwantyl normalny standaryzowanymi kumulantami. Może przełożyć skośność i kurtozę na korekty scenariuszy lub VaR, ale ucięty wzór może tworzyć krzyżujące się kwantyle i niewiarygodne estymaty odległego ogona
Wynikiem jest kwantyl, a nie gęstość
Dla prawdopodobieństwa p niech z_p=Φ^{-1}(p) będzie kwantylem standardowego rozkładu normalnego
Cornish–Fisher koryguje z_p, a następnie skaluje wynik docelową średnią μ i odchyleniem standardowym σ
Odpowiada na pytanie, jaki próg odpowiada p, a nie jaka gęstość lub oczekiwana strata znajduje się poza tym progiem
Skośność i kurtoza tworzą pierwsze korekty
Przy standaryzowanej skośności γ₁ i nadmiarowej kurtozie γ₂ typowe ucięcie zaczyna się od z_p+γ₁(z_p²−1)/6
Następnie dodaje γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36 przed pomnożeniem przez σ i dodaniem μ
Składnik γ₁² pokazuje, że rząd asymptotyczny nie jest tym samym co zwykłe dodanie jednej korekty dla każdego wyższego momentu
Rozwinięcie pochodzi z asymptotycznego odwracania
Cornish–Fisher można wyprowadzić przez odwrócenie przybliżenia Edgewortha dystrybuanty
Edgeworth przybliża gęstość lub dystrybuantę w x, a Cornish–Fisher przybliża x osiągające wybrane skumulowane prawdopodobieństwo
Oba wymagają określonego ciągu asymptotycznego i skalowania kumulantów, jeśli ucięcie ma mieć kontrolowany rząd
Zastosowania ryzyka potrzebują właściwej miary
Estymata zwrotu fizycznego może korygować historyczne lub prognozowane scenariusze VaR, podczas gdy kumulanty implikowane przez opcje opisują rozkład neutralny względem ryzyka
Te dwa dane wejściowe odpowiadają na różne pytania i nie powinny być mieszane tylko dlatego, że używają słów skośność i kurtoza
Cornish–Fisher dostarcza próg, ale nie expected shortfall, który zależy od pełnego rozkładu strat poza tym progiem
Kwantyle mogą się krzyżować lub cofać
Korekta wielomianowa szybko rośnie dla dużych |z_p| i może sprawić, że oszacowany kwantyl maleje, gdy p rośnie
Duża skośność lub kurtoza może również umieścić przybliżenie poza nośnikiem zmiennej albo odwrócić zamierzone uporządkowanie ogona
Monotoniczne przekształcenie może naprawić porządek numerycznie, ale naprawiona krzywa nie jest już niezmienionym uciętym rozwinięciem
Oszacowane kumulanty dodają kolejną warstwę błędu
Skośność i kurtoza z próby są szumne i wrażliwe na obserwacje odstające, wybór okna, zmiany reżimu i zależność
Użycie oszacowanych danych wejściowych tak, jakby były znane, pomija niepewność parametrów, która może dominować formalną korektę asymptotyczną
Prawdopodobieństwa odległego ogona wzmacniają zarówno błąd współczynnika, jak i błąd ucięcia, dokładnie tam, gdzie decyzje ryzyka są najbardziej konsekwentne
Walidacja testuje kwantyle jako krzywą
Sprawdź q(p) na gęstej siatce prawdopodobieństwa pod kątem monotoniczności, skończonych wartości, ograniczeń nośnika i rozsądnego zachowania na końcach
Porównaj z dokładnymi rozkładami, symulacją, przedziałami bootstrapu i częstościami przekroczeń poza próbą dla kilku poziomów prawdopodobieństwa
Zapisz konwencję kumulantów, horyzont próby, sposób traktowania zależności, rząd ucięcia, metodę naprawy i osobne obliczenie expected shortfall
Częste pytania
Co estymuje rozwinięcie Cornisha–Fishera?
Estymuje wybrany kwantyl z kwantyla referencyjnego rozkładu normalnego oraz korekt obejmujących skośność, kurtozę i wyższe kumulanty
Czym Cornish–Fisher różni się od Edgewortha?
Edgeworth przybliża gęstość lub dystrybuantę w wartości, a Cornish–Fisher przybliża wartość związaną z wybranym prawdopodobieństwem
Czy Cornish–Fisher może obliczyć expected shortfall?
Nie samodzielnie. Expected shortfall wymaga średniej straty poza kwantylem, której nie określa pojedynczy skorygowany próg
Dlaczego kwantyle Cornisha–Fishera mogą się krzyżować?
Ucięte korekty wielomianowe mogą rosnąć i oscylować w ogonach, czyniąc przybliżoną funkcję kwantylową niemonotoniczną
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Wynikiem jest kwantyl, a nie gęstość?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
The process that requires an option writer to fulfill the contract after an exercise notice is allocated; it can create or remove an underlying position.
Czytaj szczegółowy przewodnikBid-ask spreadThe gap between the best displayed bid and ask, which is a practical trading cost and a signal of how uncertain an immediate fill may be.
Czytaj szczegółowy przewodnik0DTEAn option that expires on the current trading day; little time remains for the thesis to work, while gamma and execution risk can change quickly.
Czytaj szczegółowy przewodnik