Duration Macaulaya, zmodyfikowana i efektywna: różnice i przykład

Termin zapadalności to umowna data planowanej spłaty kapitału. Duration opisuje harmonogram przepływów lub wrażliwość ceny przy określonych założeniach. Nie jest inną nazwą terminu zapadalności i nie gwarantuje, kiedy inwestor odzyska zapłaconą kwotę.

Jeśli ekran pokazuje tylko „duration”, sprawdź, czy chodzi o duration Macaulaya, zmodyfikowaną, efektywną, pieniężną czy inną miarę. Określ obligację lub portfel, datę wyceny, rentowność albo krzywą, konwencję kapitalizacji i podstawę ceny. CFA Institute odróżnia miary rentownościowe, które zakładają ustalone przepływy i zmianę własnej rentowności obligacji, od miar krzywych, które ponownie wyceniają instrument względem krzywej referencyjnej i mogą uwzględniać niepewne przepływy. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

Duration Macaulaya to średni termin otrzymania planowanych przepływów ważony ich wartością bieżącą. Dla przepływu CF_t w chwili t, ceny P i rentowności y waga wynosi PV(CF_t)/P. Jeśli P jest sumą wartości bieżących wszystkich modelowanych przepływów, wagi sumują się do jedności:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

W przypadku obligacji kuponowej duration Macaulaya jest zwykle krótsza niż termin zapadalności, ponieważ część wartości wraca wcześniej w postaci kuponów. Obligacja zerokuponowa ma jeden planowany przepływ, więc przy określonych założeniach dotyczących przepływów i dyskontowania jej duration Macaulaya równa się czasowi do zapadalności.

To średni termin liczony w wartości bieżącej, a nie prognoza indywidualnego okresu posiadania ani gwarancja rentowności uzyskanej z reinwestycji kuponów. Niektóre analizy immunizacji używają tej miary, lecz wymagają dodatkowych założeń o zmianach rentowności, reinwestycji i dopasowywanym zobowiązaniu. FINRA również zaznacza, że duration nie oznacza po prostu czasu do zapadalności. {source:finraDurationExplainer}

Rozważmy hipotetyczną obligację bez wbudowanych opcji, o wartości nominalnej 1 000 USD, rocznym kuponie 5%, trzech latach do wykupu i rentowności do wykupu 4% rocznie. Zakładamy płatności roczne, wycenę tuż po terminie kuponu i kapitalizację roczną. Planowane przepływy to 50 USD po roku, 50 USD po dwóch latach i 1 050 USD po trzech latach.

Po zdyskontowaniu przy 4% wartości bieżące wynoszą około 48,08, 46,23 i 933,45 USD, a cena pełna około 1 027,75 USD. Podzielenie każdej wartości bieżącej przez cenę daje wagi około 4,68%, 4,50% i 90,82%. Ostatnia płatność zawiera kapitał, lecz wcześniejsze kupony przesuwają średni termin do przodu.

Suma terminów pomnożonych przez wagi, 1 × 4,68% + 2 × 4,50% + 3 × 90,82%, wynosi około 2,8615 roku. Jest krótsza niż trzyletni termin zapadalności, bo część wartości bieżącej pochodzi z wcześniejszych kuponów. Wyświetlone wartości są zaokrąglone; dokładne obliczenia powinny korzystać z niezaokrąglonych wartości bieżących. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

Duration zmodyfikowana dostosowuje Macaulaya do podanej konwencji kapitalizacji. Dla zwykłej obligacji o stałych przepływach, nominalnej rentowności rocznej y i m kapitalizacjach rocznie typowa zależność to D_mod = D_Mac / (1 + y/m). W przykładzie płatności są roczne, więc m=1, a 2,8615 / 1,04 daje około 2,7514 roku.

Przy małej zmianie własnej rentowności obligacji przybliżenie pierwszego rzędu procentowej zmiany ceny wynosi ΔP/P ≈ −D_mod × Δy, gdzie Δy zapisuje się dziesiętnie. Wzrost o 1 punkt bazowy to 0,0001, a nie 0,01; 100 punktów bazowych to 0,01. Przy duration zmodyfikowanej 2,7514 wzrost rentowności o 1 punkt procentowy oznacza lokalne oszacowanie spadku ceny o 2,7514%, jeśli pozostałe dane są stałe. Znak minus oznacza lokalną odwrotną zależność w tym przykładzie.

Duration zmodyfikowana to nachylenie w pobliżu rentowności początkowej, a nie pełna wycena przy dowolnej wielkości szoku. Do oszacowania kwoty potrzebna jest też wartość rynkowa pozycji. Typowe przybliżenie DV01 pierwszego rzędu to wartość rynkowa × duration zmodyfikowana × 0,0001 dla zmiany własnej rentowności o 1 punkt bazowy. Konwencje znaków się różnią i liczba nie jest stałym limitem straty. CME odróżnia tę wrażliwość procentową od kwoty pieniężnej określanej jako DV01, BPV lub VBP. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

Duration efektywna korzysta z cen po pełnej wycenie w scenariuszach stóp procentowych. Niech P₀ będzie ceną początkową, P₋ ceną po obniżeniu krzywej referencyjnej o Δr, a P₊ ceną po jej podwyższeniu o tę samą wartość. Różnica centralna wynosi D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr), gdzie Δr jest liczbą dziesiętną. Wynik interpretuje się zwykle w latach jako procentową wrażliwość ceny na zdefiniowany szok krzywej.

Miara jest przydatna, gdy przyszłe przepływy mogą zmieniać się wraz ze stopami, na przykład w obligacjach callable, putable i papierach hipotecznych. Model może aktualizować w każdym scenariuszu założenia o wykonaniu opcji lub wcześniejszej spłacie, a następnie ponownie obliczać cenę. Wynik zależy więc od krzywej referencyjnej, wielkości i kształtu szoku, modelu, zmienności, założeń przepływów i daty wyceny. CFA Institute omawia duration efektywną dla ryzyka krzywej i niepewnych przepływów; FINRA również odróżnia ją od Macaulaya i miary zmodyfikowanej w obligacjach z warunkami wykupu. {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

Duration efektywna nie jest automatycznie „dokładniejsza”. Odpowiada na inne pytanie: jak zmienia się pełna cena z modelu przy określonym scenariuszu krzywej referencyjnej? Jeśli przepływy są stabilne, a pytanie dotyczy własnej rentowności obligacji, duration zmodyfikowana może być bardziej bezpośrednia. Przy szoku krzywej podaj, czy przesunięcie jest równoległe i jakiej krzywej użyto; w obligacji z opcją wskaż model przeliczający przepływy.

Wróćmy do obligacji o nominale 1 000 USD. Przy rentowności 4% cena wynosi około 1 027,75 USD, a duration zmodyfikowana około 2,7514. Wzrost rentowności o 100 punktów bazowych daje lokalne oszacowanie spadku o 2,7514%, czyli 28,28 USD, do około 999,47 USD. Spadek o 100 punktów bazowych daje oszacowanie wzrostu o 28,28 USD do około 1 056,03 USD.

Teraz zdyskontujmy planowane przepływy bezpośrednio przy nowej rentowności. Przy 5% cena wynosi 1 000 USD, czyli spada o około 27,75 USD lub 2,70%. Przy 3% cena wynosi około 1 056,57 USD, czyli rośnie o 28,82 USD lub 2,80%. Zmiany nie są symetryczne, ponieważ relacja ceny do rentowności jest zakrzywiona. Sama duration daje przybliżenie lokalne, a wypukłość pomaga wyjaśnić różnicę drugiego rzędu przy większym ruchu. To hipotetyczne obliczenia przy stałych przepływach, rocznej kapitalizacji i tej samej konwencji wyceny; nie są notowaniami ani prognozą. Zobacz wypukłość obligacji i wrażliwość ceny.

Duration Macaulaya i zmodyfikowana w przykładzie są oparte na rentowności. Nie określono krzywej referencyjnej ani modelu wyceny szoków, więc nie obliczono duration efektywnej. Aby ją uzyskać, trzeba ponownie wycenić obligację w określonych scenariuszach krzywej. Jeśli przepływy się zmieniają, założenia o wykonaniu opcji i wcześniejszej spłacie muszą być spójne w scenariuszu wzrostu i spadku.

Użyj Macaulaya, jeśli pytasz o średni termin planowanych przepływów w wartości bieżącej. Użyj duration zmodyfikowanej do lokalnego oszacowania procentowej zmiany ceny przy małej zmianie własnej rentowności obligacji o stałych przepływach, podając konwencję kapitalizacji. Użyj efektywnej, gdy zmienia się krzywa referencyjna, a przepływy mogą zależeć od stóp. Żadna miara nie przewiduje kierunku stóp procentowych.

Agregacja portfela zwykle zależy od wag według wartości rynkowej i metody dostawcy danych. Jedna duration efektywna podsumowuje określony szeroki ruch krzywej, ale może ukrywać skręcenia i wygięcia; key-rate duration pokazuje wrażliwość w wybranych punktach. Dla kwoty pieniężnej na punkt bazowy zobacz DV01 i BPV. Ryzyko spreadu kredytowego, płynności, inflacji, walut i opcji może wymagać osobnej analizy; duration stopy referencyjnej nie mierzy całego ryzyka obligacji.

Cechy obligacji też mają znaczenie. W standardowym przypadku obligacji stałokuponowej bez opcji, przy pozostałych warunkach bez zmian, późniejsze przepływy zwykle zwiększają duration; wyższy kupon lub rentowność zwykle zwiększają udział bieżącej wartości wcześniejszych płatności i ją zmniejszają. Wraz ze zbliżaniem się terminu zapadalności zmienia się pozostały profil przepływów, więc duration nie jest stała. Opcja call może ograniczać wzrost ceny przy spadku stóp. Obligacja zmiennokuponowa okresowo aktualizuje kupon i może mieć niższą wrażliwość na stopy niż podobna obligacja stałokuponowa, ale pozostają ryzyka spreadu, opóźnienia resetu, floor i płynności. To mechanizmy przy danych założeniach, nie uniwersalny ranking. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

Dwa źródła mogą określać słowem „duration” różne miary. Zapisz instrument lub portfel, datę wyceny, cenę pełną lub czystą, rentowność albo krzywą referencyjną, częstotliwość kapitalizacji, wielkość szoku, równoległy lub nierównoległy ruch, model opcji oraz to, czy przepływy pozostają stałe czy są przeliczane. Przy porównaniu kwot pieniężnych dopasuj też wielkość pozycji i walutę. Jeśli dane wejściowe się różnią, wyjaśnij różnicę przed bezpośrednim porównaniem.

Wrażliwość ceny nie jest oczekiwaną całkowitą stopą zwrotu. Duration nie obejmuje wszystkich źródeł zrealizowanego wyniku, takich jak dochód z kuponu, reinwestycja, zmiany kredytowe i spreadowe, koszty transakcji, podatki lub zmiany portfela. To wrażliwość warunkowa przy określonym punkcie początkowym i modelu. Sprawdź metodologię i datę danych w karcie funduszu lub ekranie analitycznym, a warunki umowne w prospekcie lub dokumentacji papieru. Niska duration nie oznacza niskiego ryzyka ogółem ani nie prognozuje przyszłych strat. {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}