Konweksja obligacji: krzywizna poza duration

Cena rynkowa obligacji jest wartością bieżącą oczekiwanych przepływów pieniężnych. Zmiana rentowności dyskontowej powoduje ponowną wycenę tych przepływów. W przypadku zwykłej obligacji o stałym oprocentowaniu, ustalonych przepływach i bez opcji wbudowanej cena zazwyczaj porusza się przeciwnie do rentowności.

W szerszym zakresie relacja ceny i rentowności nie jest linią prostą. Nachylenie w bieżącym punkcie rentowności pokazuje bezpośrednią wrażliwość ceny, a krzywizna — jak to nachylenie zmienia się przy dalszym ruchu rentowności. CFA Institute przedstawia duration jako przybliżenie liniowe, a konweksję jako uzupełniającą miarę w [omówieniu konweksji obligacji według rentowności]({source:cfaBondConvexity2026}).

Duration zmodyfikowane szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: ΔP/P ≈ −D × Δy. Δy zapisuje się dziesiętnie. Przy duration równym 6 i wzroście rentowności o 0,01 szacunek wynosi −6 × 0,01, czyli około −6%. Dla małego ruchu styczna w bieżącej cenie jest użytecznym skrótem.

Prosta zakłada, że wzrost i spadek rentowności o tę samą wartość wywołują równe, lecz przeciwne zmiany ceny. Krzywa cena-rentowność nie jest dokładnie symetryczna. Sama duration najlepiej sprawdza się jako przybliżenie lokalne i jest mniej pełna przy większym zakładanym ruchu. FINRA opisuje duration jako miarę wrażliwości, a nie termin zapadalności w [przewodniku po duration obligacji]({source:finraDurationExplainer}).

Konweksja to efekt drugiego rzędu w zmianie ceny. Przy popularnej konwencji duration zmodyfikowanego przybliżenie ma postać ΔP/P ≈ −D × Δy + ½ × C × (Δy)². Pierwszy składnik to liniowy szacunek duration, a drugi dodaje korektę krzywizny. Rentowność należy podawać dziesiętnie: 100 punktów bazowych (pb) to 0,01, a 25 pb to 0,0025.

Dla obligacji o stałym oprocentowaniu bez opcji konweksja według rentowności jest dodatnia. Składnik konweksji zwiększa więc szacowaną zmianę ceny w obu kierunkach: powiększa szacowany zysk przy spadku rentowności i zmniejsza szacowaną stratę przy jej wzroście w porównaniu z samą duration. To wrażliwość w ramach określonego modelu, nie gwarancja lepszej stopy zwrotu.

Załóżmy hipotetyczny portfel obligacji o duration zmodyfikowanym 6 i konweksji 45. Jeśli istotna rentowność wzrośnie o 100 pb, Δy = +0,01. Składnik duration wynosi −6,00%, a konweksji ½ × 45 × 0,01² = +0,225%. Łączny szacunek to około −5,775% przed dochodem, zmianami spreadów, opłatami i innymi czynnikami.

Jeśli rentowność spadnie o 100 pb, duration daje +6,00%, a konweksja ponownie +0,225%, czyli około +6,225%. Dla hipotetycznej pozycji 10 000 USD oznacza to w przybliżeniu −577,50 USD albo +622,50 USD. To ilustracja rachunkowa, a nie prognoza ani obietnica wyniku.

Przykład dodatniej konweksji zakłada ustalone przepływy i brak opcji wbudowanych. Obligacja callable daje emitentowi prawo do wcześniejszego wykupu. Spadek rentowności może zwiększyć atrakcyjność wykupu i ograniczyć wzrost ceny. Papiery zabezpieczone hipotekami mogą szybciej być spłacane, gdy refinansowanie staje się korzystniejsze, co zmienia oczekiwane przepływy.

W pobliżu obszaru wykonania opcji obligacja callable może mieć ujemną konweksję: wzrost przy spadku rentowności jest ograniczony, a ryzyko spadku przy jej wzroście pozostaje. CFA Institute omawia effective duration i effective convexity dla obligacji z opcjami w [przewodniku po opcjach wbudowanych]({source:cfaEmbeddedOptions2026}). Nie należy mechanicznie stosować przykładu obligacji bez opcji do takich papierów.

Duration i konweksja portfela podsumowują reakcję przepływów pieniężnych z obligacji na zmianę rentowności. Często stosuje się średnią ważoną wartością poszczególnych pozycji. Taki skrót jest użyteczny, ale zwykle zakłada równoległe przesunięcie krzywej: rentowności wszystkich istotnych terminów zmieniają się o tę samą wartość.

W praktyce rentowności krótkie, średnie i długie mogą zachowywać się inaczej, a krzywa może się stromić, spłaszczać lub zmieniać kształt. Portfele z przepływami w różnych terminach mogą reagować odmiennie nawet przy podobnej łącznej duration i konweksji. Duration key-rate i inne miary zależne od krzywej pomagają opisać tę ekspozycję. Konweksja obligacji to nie krzywizna samej krzywej rentowności.

Przed porównaniem konweksji funduszy obligacyjnych sprawdź definicję, jednostki, datę danych oraz to, czy chodzi o konweksję zmodyfikowaną, przybliżoną czy efektywną. W przypadku opcji wbudowanych miary efektywne zależą od modelu, który ponownie wycenia oczekiwane przepływy przy zmianie rentowności. Różne modele, szoki krzywej, daty portfela lub konwencje mogą uniemożliwić bezpośrednie porównanie.

Oddziel wrażliwość na stopy od spreadu kredytowego, niewypłacalności, płynności i ryzyka walutowego. Zmiana rentowności we wzorze nie oznacza automatycznie zmiany stopy banku centralnego ani wszystkich rentowności rynkowych. Zobacz też duration i ryzyko stopy procentowej ETF-ów obligacyjnych oraz osobny przewodnik o korekcie konweksji futures i forwardów.

Duration i konweksja pomagają odpowiedzieć na ograniczone pytanie: przy określonym szoku rentowności i założeniach miary, czym szacowana wrażliwość ceny różni się od liniowego przybliżenia duration? Nie prognozują przyszłej rentowności, całkowitej stopy zwrotu, czasu odrobienia straty ani dopasowania obligacji do portfela.

Zapisz wielkość i jednostkę szoku, konwencję miary oraz ryzyka założone jako stałe. Traktuj wynik jako przybliżenie i aktualizuj dane, gdy zmieniają się ceny, pozycje, oczekiwane przepływy lub krzywa. Jedna liczba konweksji opisuje krzywiznę wokół punktu odniesienia, a nie pełne ryzyko.

Oddziel szacowaną wrażliwość ceny od faktycznie zrealizowanej całkowitej stopy zwrotu. Duration i konweksja opisują, jak cena na określony dzień wyceny może zareagować na dany szok rentowności. Faktyczny wynik w okresie utrzymywania obligacji może obejmować także kupony, efekt przesunięcia po krzywej dochodowości, zmiany spreadów kredytowych, koszty transakcyjne i zmiany oczekiwanych przepływów pieniężnych. Porównując początkowe oszacowanie z późniejszym wynikiem, dopasuj okres pomiaru i czynniki ryzyka, a następnie ustal, które składniki wyjaśniają różnicę. Taka analiza pozwala ocenić przybliżenie, ale nie zmienia go w obietnicę zysku.