Stratonovich vs Itô Calculus Uitgelegd
Leer hoe Stratonovich en Itô stochastische integraals verschillen, hoe hun drijftermen te converteren, en waarom financiële modellen moeten de conventie te vermelden
Direct antwoord
Het is een soort van wiskunde die de wiskunde van Stratonovich beschrijft, maar die op verschillende punten in elk interval herkent. De conversie voegt een kwadratische-variatie driftterm toe, dus een vergelijking is onvolledig totdat de integrale conventie wordt genoemd.
Het bemonsteringspunt wijzigt de integrale
Een Itô maakt integraal gebruik van informatie aan het linker eindpunt van elk tijdsinterval. Dit maakt de integrerend voorspelbaar en geeft de integraal een martingale eigenschap onder standaard veronderstellingen
Een Stratonovich integraal gebruikt een midpoint-stijl limiet. Het volgt de gewone kettingregel meer in de buurt voor vlotte coördinaat veranderingen
Geen van beide notatie is automatisch realistischer. De juiste conventie volgt uit de modeling limiet, de informatiestroom en de hoeveelheid wordt weergegeven
Converteren van conventies verandert drift
Voor een eendimensionale diffusie wordt dX = a(X)dt + b(X)
De extra term is geen discretionaire aanpassing, maar een kwadratische covariantie tussen de staat-afhankelijke integrand en de Browniaanse beweging.
Wanneer b constant is, is b' nul en de twee vormen overeenkomen. Staat-afhankelijke volatiliteit is waar stille menging kostbaar wordt
Een multiplicatief-ruisvoorbeeld geeft het verschil weer
Neem b(X) = σX en een nul Stratonovich drift. De equivalente Itô drift is 1/2σ2X
Met σ = 40% wordt deze correctie 8% van X per jaar vóór een afzonderlijk gespecificeerde economische drift toegepast.
Dit getal is een verandering van vertegenwoordiging, niet een verwachte voorraadopbrengst of een verhandelbare alpha. Een financieringsmodel moet nog steeds de mate, de overdracht, dividenden en beperkingen specificeren.
Prijsmodellen geven gewoonlijk Itô dynamiek aan
Continu-time activa-prijs modellen gebruiken vaak Itô processen omdat zelffinanciering trading strategieën zijn aangepast aan informatie beschikbaar voor de volgende schok
De lemma, martingale maatregelen en de standaard Black ..Scholes afleiding zijn geschreven in die conventie
Fysische modellen afgeleid van gekleurde-ruislimieten kunnen natuurlijk Stratonovich vergelijkingen produceren. Converteer ze voordat ze te combineren met een Itô prijs- of afdekkingsberekening
De conversie bepaalt het modelrisico niet
Een vergelijking kan correct worden omgezet en nog steeds wegsprongen, stochastische volatiliteit, liquiditeit, discrete afdekking of foutieve parameters weglaten
Multidimensionale systemen vereisen de volledige Jacobiaanse en covariumstructuur, geen halve tijd-b-times-b-prime snelkoppeling in scalaire vorm
Geef altijd de SDE, integrale conventie, waarschijnlijkheidsmeting, tijdseenheid en interpretatie van het geluid voordat u resultaten vergelijkt.
Veelgestelde vragen
Is Stratonovich calculus correcter dan Itô calculus?
Nee. Het zijn gelijkwaardige beschrijvingen wanneer correct omgezet. De juiste vorm hangt af van hoe het stochastische model ontstaat en hoe het zal worden gebruikt
Waarom verandert de drift tijdens de conversie?
De integrand kan samen bewegen met Browniaanse beweging wanneer het afhankelijk is van de staat. De kwadratische covariantie overleeft als een eindige driftcorrectie
Kan ik de gewone kettingregel gebruiken met een Itô-proces?
Niet direct. Het lemma voegt een tweede-orde term van kwadratische variatie. Stratonovich notatie herstelt de gewone-looking regel alleen met zijn eigen conventie
Bronnen en verder lezen
Snelle check
De gids gelezen? Test jezelf met 3 vragen
Vraag 01
Welke verklaring past het beste bij deze gids . . Het bemonsteringspunt verandert de integraal?
Kies een antwoord om de uitleg te zien
Optiewoordenlijst
A stochastic chain rule expanding a function's change into time, first-order, and second-order terms, with the extra term arising from Brownian quadratic variation.
Lees de uitgebreide gidsQuadratic variationThe limit of sums of squared process increments over increasingly fine partitions, measuring accumulated second-order path variation and generating Itô corrections.
Lees de uitgebreide gidsGirsanov theoremA result that shifts Brownian drift through an absolutely continuous change of measure under suitable conditions while preserving the diffusion structure.
Lees de uitgebreide gids