Itô's Lemma in Optie Prijzen uitgelegd
Ontdek waarom stochastische functies een extra tweede-orde term nodig hebben, hoe Itô's lemma de optiewaarde uitbreidt, en hoe delta-hedging leidt tot een prijsvergelijking
Direct antwoord
Het is de kettingregel voor een stochastische proces. Een Browniaanse verhoging is van orde √dt, dus zijn vierkant draagt bij aan orde dt. De overlevende tweede afgeleide verbindt optie gamma, volatiliteit, en tijd evolutie
Gewone kettingregels missen stochastische variatie
Voor een glad deterministisch pad x(t) wordt de verandering in f(t, x) lokaal beschreven door zijn tijdderivaat en eerste afgeleide met betrekking tot x
Een diffusiepad is continu maar nergens in de gewone zin van het woord differentieelbaar. Zijn willekeurige toename over een korte intervalschaal zoals de wortel van de tijd
Die schaal maakt een tweede-orde Taylor term zo groot als een gewone termijn. Dropping het verwijdert het effect dat later verschijnt als gamma in optie pricing
Quadratische variatie houdt de tweede-orde term
Schrijf een Brown-verhoging als dW. In Itô boekhouding, dW2 draagt dt, terwijl dt2 en dt·dW verdwijnen op de relevante bestelling
Dit is steno voor een padsgewijze limiet: de som van kwadraat Browniaanse stappen convergeert naar verlopen tijd als een partitie fijner wordt
Het is niet de gewone algebra zeggen elke willekeurige schok kwadraat gelijk aan tijd. De regel behoort tot stochastische integratie en de beperkende conventie
Het lemma breidt een functie van een diffusie uit
Stel dat dS = μSdt + σSdW en een optiewaarde V(t, S) is. Itô's lemma geeft zijn lokale stochastische verandering
De drift is Vt + μS Vs + een halve σ2S2Vss. De willekeurige term is σS VsdW, waarbij subscripts gedeeltelijke derivaten aangeven
Delta Vs vermenigvuldigt de eerste-orde schok, terwijl gamma Vss de tijd-orde drift door kwadratische variatie binnenkomt
Gamma verandert volatiliteit in verwachte lokale verandering
Zelfs wanneer de willekeurige prijsschok nul voorwaardelijke gemiddelde heeft, maakt convexiteit positief en negatieve bewegingen beïnvloeden optie waarde asymmetrisch
De helft van de σ2S2Gamma term meet deze lokale kromming bijdrage. Hogere volatiliteit verhoogt het tarief waarbij een gebogen uitbetaling accumuleert gemodelleerde waarde
Dit zegt niet dat lange gamma verdient een gegarandeerde winst. Theta, betaalde premie, gerealiseerd paden, sprongen, scheefgroei veranderingen, en kosten bepalen de werkelijke P&L
Delta-hedging verwijdert de gemodelleerde willekeurige term
Combineer één optie met min delta in de onderliggende. Onder de diffusie-hypotheses, de dW termen onmiddellijk annuleren
De resterende lokale portefeuille is gemodelleerd als risicoloos, dus geen-arbitrage vereist het om het risico-vrije tarief na consistente dividend of dragen behandeling verdienen
Het vervangen van die voorwaarde verwijdert μ en produceert de Black .Scholes gedeeltelijke differentiaalvergelijking. Replicatie, niet een rendementsvoorspelling, stelt de prijsverhouding
De formule leidt ook bredere modellen
Met verschillende interrelated diffusies, de uitbreiding omvat cross-second derivaten gewogen door covouriteit. Deze termen verbinden correlatie met gezamenlijke kromming
Het veranderen van het proces verandert de generator en de prijsvergelijking. Lokale volatiliteit, stochastische volatiliteit, en tariefmodellen alle gebruik maken van gerelateerde Itô uitbreidingen
Voor functies die niet soepel genoeg zijn, moeten grenzen en kniksels eerder zwak, algemeen of numeriek behandeld worden dan toevallige differentiatie
Springen en echte afdekkingen hebben extra voorwaarden nodig
Een sprongproces past niet alleen in de continue Browniaanse regel. De verandering formule omvat discontinue sprong bijdragen en vaak leidt tot een integro-differentiaal vergelijking
Echte hedges zijn discreet en kostbaar, dus het annuleren van een oneindige minimale dW-termijn elimineert geen gap, liquiditeit, parameter of uitvoeringsrisico
Gebruik Itô's lema om modelmechanica te begrijpen, dan het proces, gladheid, meting en trading aannames voordat een prijs of Grieks te interpreteren
Veelgestelde vragen
Waarom heeft Itô's lemma een extra termijn?
Brownian stappen schaal met √dt, zodat hun vierkant is van orde dt en de tweede-orde Taylor term niet verdwijnt
Wat betekent dW2 = dt?
Het vat de kwadratische variatie in de stochastische limiet samen; het is geen gewone puntsgewijze gelijkheid tussen een willekeurig aantal en tijd
Hoe leidt Itô's lemma naar Black ?
Het breidt de lokale verandering van de optie uit, waarna een deltaheg de diffusieschok annuleert en geen arbitrage het resterende rendement bepaalt
Geldt het lemma voor prijssprongen?
De continue versie is onvoldoende. Jump modellen vereisen een uitgebreide verandering formule met expliciete discontinue termen
Bronnen en verder lezen
Snelle check
De gids gelezen? Test jezelf met 3 vragen
Vraag 01
Welke verklaring past het beste bij deze gids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kies een antwoord om de uitleg te zien
Optiewoordenlijst
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Lees de uitgebreide gidsGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Lees de uitgebreide gids