Radon
Leer hoe de Radon...Nikodym afgeleide herweging waarschijnlijkheden, converteert verwachtingen, vormt een dichtheidsproces, en ondersteunt risiconeutrale waardering
Direct antwoord
Een Radon–Nikodym-afgeleide dQ/dP is een niet-negatieve dichtheid die laat zien hoe maat Q de uitkomsten ten opzichte van P herweegt. Ze zet verwachtingen onder Q om in gewogen verwachtingen onder P en verbindt fysieke en prijsmaatstaven zonder de mogelijke gebeurtenissen te veranderen.
Absolute continuïteit maakt een dichtheid mogelijk
Q is absoluut continu met betrekking tot P, geschreven Q
De stelling van Radon
Als P en Q gelijkwaardig zijn, is elk absoluut continu ten opzichte van de andere en zijn ze het eens over welke gebeurtenissen onmogelijk zijn
De dichtheid wijst waarschijnlijkheidstoestand toe naar staat
Voor elke gebeurtenis A, Q(A) = E P[Z 1 A]. Voor waarschijnlijkheidsmetingen, E P[Z] = 1
Waarden Z groter dan één verhogen het relatieve gewicht van een resultaat onder Q; waarden onder één verminderen het
Z is geen derivaat met betrekking tot tijd of prijs. Het is een dichtheid van de ene maat ten opzichte van de andere
Verwachtingen veranderen door vermenigvuldiging
Voor een geïntegreerde uitbetaling X, E Q[X] = E P[ZX], onder de vereiste integreerbaarheidsvoorwaarden
Deze identiteit verandert gewichten, niet de payoff of steekproefruimte. Dezelfde uitkomst X wordt anders gemiddeld
Wanneer de maatregelen gelijkwaardig zijn en Z positief is, houdt dP/dQ = 1/Z Q-vrijwel zeker; dichtheidsveranderingen gehoorzamen ook een kettingregel
Het is het continue analoge van een waarschijnlijkheidsverhouding
In een eindig statusmodel, Z s = q s/p s wanneer p s positief is, dus q s = p s Z s
Dit is dezelfde logica als belangrijk monstername: monster onder één verdeling en corrigeer het gemiddelde met een waarschijnlijkheidsratio
Zeer variabele dichtheden concentreren gewicht op enkele staten en kan instabiele Monte Carlo schattingen te creëren zelfs wanneer de identiteit is exact
Een dichtheidsproces onthult informatie in de tijd
Gezien de terminaldichtheid Z T, definieer Z t = E P[Z_T | Ft]. Het proces is een niet-negatieve P-martingale
Voorwaardelijke verwachtingen voldoen aan E Q[X | Ft] = E_P[Z_T X | Ft] / Z t wanneer Z t positief is
De filtering is belangrijk omdat Z t het deel van de terminal herweging zichtbaar registreert met informatie die op het moment beschikbaar is t
Prijzenmaatregelen maken gebruik van een gelijkwaardige dichtheid
Asset pricing modellen zoeken een gelijkwaardige maatregel Q op grond waarvan correct gedisconteerde verhandelde prijzen zijn martingales of lokale martingales
Girsanov's stelling beschrijft hoe de dichtheid verandert Browniaanse drift terwijl de diffusie onzekerheid en nul gebeurtenissen behouden
Met een geld-markt numeraire, kan de stochastische kortingsfactor worden geschreven als kortingstijden dQ/dP onder geschikte aannames
Interpretatie en schatting vereisen zorg
Risiconeutraal Q is een prijsmaatstaf, niet noodzakelijk een prognose van de reële frequenties onder P
Een voorgestelde dichtheid moet niet negatief zijn, in één worden geïntegreerd, de filtratie respecteren en de beoogde gedisconteerde activa martingales maken.
Rapporteer de basis- en doelmaatregelen, numeraire, horizon, dichtheidsconventie, integreerbaarheid en numerieke diagnostiek alvorens getransformeerde verwachtingen te gebruiken
Veelgestelde vragen
Wat is de Radon ?Nikodym afgeleide in eenvoudige termen?
Het is een kansverhouding die zegt hoeveel meer of minder gewicht een waarschijnlijkheidsmeting geeft elk resultaat dan een andere
Waarom moet Q absoluut continu zijn met betrekking tot P?
Anders zou Q een positieve waarschijnlijkheid kunnen toekennen aan een gebeurtenis die P als onmogelijk behandelt, die geen eindige dichtheid ten opzichte van P kan herstellen
Is dQ/dP een tijdderivaat?
Nee. Het is de dichtheid van maat Q ten opzichte van P; een tijd-geïndexeerd dichtheidsproces wordt gevormd door voorwaardelijke verwachting
Hoe is het verbonden met risiconeutrale prijsstelling?
Het levert de verandering van gewicht van fysieke naar prijs waarschijnlijkheden, zodat gereduceerd verhandelde prijzen kunnen worden martingales onder Q
Bronnen en verder lezen
Snelle check
De gids gelezen? Test jezelf met 3 vragen
Vraag 01
Welke verklaring het beste past bij deze gids . . Absolute continuïteit staat een dichtheid toe?
Kies een antwoord om de uitleg te zien
Optiewoordenlijst
A result that shifts Brownian drift through an absolutely continuous change of measure under suitable conditions while preserving the diffusion structure.
Lees de uitgebreide gidsNumeraireA strictly positive tradable asset used as the unit of value; dividing other prices by it and using the associated measure makes relative prices martingales.
Lees de uitgebreide gidsStochastic exponentialThe multiplicative process solving dZ = Z₋dX; for a continuous local martingale it is the ordinary exponential corrected by half its quadratic variation.
Lees de uitgebreide gids