Karakteristieke functie Option Prijzen uitgelegd
Begrijpen hoe risiconeutrale kenmerkende functies distributies coderen, Fourier inversie ondersteunen en optieprijzen worden door payoff transforms
Direct antwoord
Een karakteristieke functie φ(u)=E[e^{iuX}] codeert de verdeling van een logprijs onder de gekozen prijsmaat. Fourier inversie combineert die transformatie met een getransformeerde uitbetaling om een gereduceerde optiewaarde terug te krijgen
De kenmerkende functie slaat een distributie op
Voor een echte willekeurige variabele X, φ(u)=E[e^{iuX}] is gedefinieerd voor elke echte frequentie u omdat het complexe exponentieel heeft modulus een
In tegenstelling tot een momentgenererende functie, vereist het geen eindige exponentiële momenten om alleen op de echte lijn te bestaan.
De waarden over frequenties bepalen de wet van X en coderen de locatie, dispersie, asymmetrie, staarten en diffities samen.
Prijsmaatstaf en staatsvariabele komen eerst
Voor een Europese uitbetaling h(S T) is een basisrisiconeutrale prijs E^Q[e^{-∫r ds}h(S T)] onder voorwaarden die deze maatregel ondersteunen
Transformeer methoden vaak ingesteld X T=log S T of een vooruit te betalen log prijs, maar korting en de exacte numeraire conventie moet overeenkomen met de transformatie
Een fysische-maat-karakteristiek functie kan niet in een risiconeutrale prijs worden opgenomen tenzij de maatregelsverandering correct is gespecificeerd
Viervoudige inversie herstelt waarschijnlijkheden en dichtheden
Wanneer voldoende regelmaat vasthoudt, herstelt een inverse Fourier integraal een dichtheid van φ; distributiefuncties kunnen ook worden hersteld door inversieformules
Gil.Pelaez inversie drukt staart- of cumulatieve waarschijnlijkheden uit via een integraal met het imaginaire deel van e^{-iux}φ(u)/u
Dit zijn onjuiste integraals, dus gedrag bij nul en bij grote frequenties vereist analytische grenzen en numerieke zorg
Uitbetalingen hebben een eigen transformatiebehandeling nodig
Een call payoff groeit met S T, zodat de Fourier transformatie niet op de gewone echte lijn is integreerbaar zonder dempen of een contourverschuiving
Men kan een gedempte prijs transformeren, de uitbetaling in een geschikte strip omzetten, of de call ontbinden in gereduceerde activa en staking waarschijnlijkheden
Verschillende formules kunnen wiskundig equivalent zijn terwijl verschillende tekens, normalisaties, toestandsvariabelen en complexe argumenten worden gebruikt
Model van de verteerbaarheid komt door φ
Black . Scholes, Heston, affine jump-diffusies, en veel Lévy modellen leveren kenmerkende functies gemakkelijker dan transitie dichtheden
De kenmerkende functie weerspiegelt modelaannames, risiconeutrale parameters, horizon, begintoestand en eventuele correlaties of sprongcompensaties
Weten φ is een rekenvoordeel, geen bewijs dat de gekozen dynamiek past waargenomen optie prijzen of toekomstige rendementen
Numerieke inversie creëert een fout budget
De eindige integratiegrenzen creëren een fout in de truncatie, de frequentieafstand creëert een kwadratuurfout en de UMTS-rasters kunnen een alias en interpolatiefout toevoegen
Oscillerende annulering en complexe logaritmetakken kunnen een soepele maar verkeerde prijs opleveren als ze inconsistent worden behandeld
Adaptieve kwadratuur, controle variates, demping, alternatieve formules, en hogere precisie aanpakken verschillende fouten in plaats van een universeel defect
Validatie moet verder gaan dan één prijs
Controleer φ(0)=1, geconjugeerde symmetrie φ(−u)=overline{φ(u)}, en het martingale moment dat vereist is door de activa-prijs conventie
Vergelijk met Black . Scholes of een andere bekende limiet, put . call pariteit, monotoneity, convexity, en een onafhankelijke numerieke methode
Daarna variëren grenzen, roosters, demping, toleranties, looptijden, en stakingen; stabiele cijfers moeten redelijke rekenveranderingen overleven
Veelgestelde vragen
Wat is een karakteristieke functie?
Het is φ(u)=E[e^{iuX}], een complexe gevalueerde transformatie die uniek de kansverdeling van X bepaalt
Waarom gebruiken voor optie prijzen?
Veel realistische modellen bieden φ in gesloten of halfgesloten vorm, zelfs wanneer hun overgangsdichtheid en uitbetalingsverwachtingen niet direct beschikbaar zijn
Is een karakteristieke functie dezelfde als een momentgenererende functie?
Nee. De functie van de kenmerkende functie gebruikt een denkbeeldig argument en bestaat voor echte u, terwijl een MGF kan falen wanneer exponentieel momenten verschillen
Kan ik een oproep prijs door direct omkeren φ?
Niet zonder de uitbetaling, meting, korting en integreerbaarheid te verwerken; oproepen vereisen vaak demping, contourverschuivingen of een waarschijnlijkheidsafbraak
Bronnen en verder lezen
Snelle check
De gids gelezen? Test jezelf met 3 vragen
Vraag 01
Welke verklaring past het beste bij deze gids . . De karakteristieke functie slaat een distributie op?
Kies een antwoord om de uitleg te zien
Optiewoordenlijst
An option-pricing method that expands a terminal density on a finite interval, obtains cosine coefficients from its characteristic function, and combines them with payoff coefficients.
Lees de uitgebreide gidsMonte Carlo simulationA numerical method that generates many paths from a specified random model and estimates derivative value and sampling error from discounted payoffs.
Lees de uitgebreide gidsMartingaleA stochastic process whose next value has conditional expectation equal to its current value under specified information and measure; it need not be constant or riskless.
Lees de uitgebreide gids