Stochastische exponentieel en Doléans . Dade Exponential Uitleg

Voor een semimartingale X die begint bij nul, lost de Doléans ..Dade exponentieel Z = E(X) Z t = 1 + ∫ 0^t Z {s-}dX s op

De linker limiet Z {s-} doet er toe omdat een sprong ΔX s de rijkdom multiplicerend verandert met 1 + ΔX s op dat moment

Deze definitie is meer fundamenteel dan het onthouden van een gesloten formule en blijft betekenisvol voor continue en sprong processen

Voor een continue semimartingale, E(X) t = exp(X t - X 0 - 1/2[X]^c t) wanneer de relevante eindige-variatietermen zijn opgenomen in X

Als X een continue lokale martingale M is, is de vertrouwde vorm exp(M t - 1/2

De aftrekken compenseert de Itô tweede-orde term, waardoor dE(M) t = E(M) t dM t in plaats van een ongewenste drift

Voor algemeen X, vermenigvuldig de continue exponentieel met

Elke factor vervangt de exponentiële response e^{ΔX} met de vereiste vermogensmultiplicator 1 + ΔX

Het oneindige product heeft semimartingale regelmaat nodig; het is geen licentie om rauwe hogefrequentierendementen te vermenigvuldigen zonder convergentiecontrole

Als elke ΔX > -1 de stochastische exponentieel blijft strikt positief wanneer het begint positief

Een sprong van precies -1 stuurt het naar nul, terwijl een sprong onder -1 het teken kan veranderen, waardoor het gebruik ervan als een positieve dichtheid of waarde van het actief wordt vernietigd

Deze voorwaarde heeft een directe financiële betekenis: een proportioneel verlies in één stap mag niet meer bedragen dan 100% in een model van de prijs van een beperkte aansprakelijkheid

Wanneer M een lokale martingale met geschikte sprongen is, E(M) is over het algemeen een lokale martingale en een supermartingale wanneer niet negatief

Om een kansverandering aan een vaste horizon te definiëren, moet het een echte martingale zijn met E[E(M) T] = 1

Novikov, Kazamaki, begrensdheid, of sprong-specifieke criteria kunnen voldoende zijn; geen mag worden verondersteld alleen maar omdat de formule ziet exponentieel

In de Girsanov theorie dient een geldige stochastische exponentieel als de Radon.

In een retourmodel dS t/S {t-} = dX t, is de oplossing S t = S 0E(X) t, dus compileren is ingebouwd in de dynamiek

Dichtheid en prijsinterpretaties vereisen verschillende normalisatie, integreerbaarheid en ontvankelijkheidscontroles, zelfs wanneer hun algebra overeenkomen

Controleer spronggrenzen, terminal verwachting, uniforme integreerbaarheid, discretie, en of de gekozen exponentieel is lokaal of waar

Naive Euler updates kunnen negatieve of vertekende producten worden; regelingen die de exacte exponentiële structuur behouden zijn vaak veiliger

Simulatie kan zeldzame paden missen die verwachtingsverlies veroorzaken, dus combineer trunkatiestudies, analytische criteria, grenstests en monstermiddelen