Novikov en Kazamaki Voorwaarden uitgelegd
Leer hoe Novikov en Kazamaki criteria een stochastische exponentieel van een lokale martingale veranderen in een geldige dichtheid voor maatverandering
Direct antwoord
Novikov en Kazamaki zijn voldoende tests waardoor een continue lokale-martingale stochastische exponentieel een ware verwachting-een martingale aan een aangegeven horizon. Deze eigenschap laat de exponentieel om een waarschijnlijkheid dichtheid te definiëren
Een positieve lokale martingale kan massa verliezen
Voor een continue lokale martingale M is de stochastische exponentieel Z t = exp(M t - 1⁄2
Z is een positieve lokale martingale en dus een supermartingale, dus E[Z t] kan onder de oorspronkelijke waarde een
Als de massa verloren gaat, kan Z T niet als waarschijnlijkheidsdichtheid dienen zonder de beoogde constructie te wijzigen
Verandering van maatregel heeft een echte martingale nodig
Een eindige-horizondichtheid vereist Z T ≥ 0 en E[Z T] = 1, waarbij het dichtheidsproces wordt gegeven door voorwaardelijke verwachtingen
Uniforme integrabiliteit controleert de familie door de horizon en ondersteunt consistente maatveranderingen bij stoptijden
Een exponentiële expressie schrijven is geen bewijs dat het normaliseert tot één of een gelijkwaardige maatregel
Novikov controleert exponentiële kwadratische variatie
Een gemeenschappelijk Novikov-criterium is E[exp(1⁄2
Voor M =∫θ s dW s is de beugel ∫0Tθ s2ds, dus de test vraagt om exponentiële integreerbaarheid van de verzamelde kwadraat driftverschuiving
Het criterium is handig omdat het gebruik maakt van kwadratische variatie, maar het kan sterker dan nodig
Kazamaki onderzoekt de martingale zelf
Kazamaki-type criteria controle exp(M/2), meestal door middel van een submartingale of uniforme integreerbaarheid conditie over de stoptijden
Ze kunnen de ware-martingale eigenschap vaststellen in gevallen waarin Novikov's exponentieel beugelmoment oneindig is
Exacte verklaringen variëren met horizon en stellingversie, dus het geciteerde criterium en de ondertekening conventie moeten expliciet zijn
Het falen van een criterium is geen falen van de dichtheid
Beide voorwaarden zijn voldoende tests, geen definities en niet algemeen noodzakelijke voorwaarden.
Als Novikov faalt, Kazamaki, kan begrensde gemiddelde oscillatie, directe verwachtingsberekeningen of modelspecifieke argumenten nog steeds werken
Als elke handige test mislukt, kan men niet zomaar martingality aannemen; streng lokaal-martingale gedrag blijft mogelijk
De financiering hangt af van de verwachting-één stap
Girsanov drift veranderingen en risico-neutrale dichtheden vaak gebruik maken van een stochastische exponentieel opgebouwd uit de marktprijs van risico
Indien de dichtheid strikt lokaal is in plaats van echt martingale, kan de voorgestelde prijsmaatregel over de horizon gebrekkig of inconsistent zijn.
Dit probleem verschijnt ook in de waarschijnlijkheid-ratio schatters, filtering, nut dualiteit, en modellen met bubble-achtige gedrag
Horizon, sprongen en lokalisatie veranderen de test
Een voorwaarde die geldig is voor elke eindige T hoeft geen uniforme integreerbaarheid te geven aan een oneindige horizon
Lokalisatie bewijst lokale identiteiten maar herstelt op zichzelf niet de ontbrekende verwachting wanneer er limieten worden genomen
Spring exponentieel vereist jump-aware positiviteit en integreerbaarheid criteria; de continue Novikov formule mag niet onveranderd worden gekopieerd
Veelgestelde vragen
Wat is Novikov's toestand?
Voor een continue lokale martingale M op [0,T], vereist een veel voorkomende vorm E[exp(1⁄2
Is Novikovs toestand nodig?
Nee. Het is voldoende, en een stochastische exponentieel kan een echte martingale zelfs wanneer het Novikov moment divergeert
Is Kazamaki zwakker dan Novikov?
Kazamaki kan gevallen die Novikov mist verifiëren, hoewel exacte vergelijkingen afhangen van de vermelde versies en aannames
Waarom zijn deze voorwaarden van belang voor optieprijzen?
Zij helpen bewijzen dat een exponentiële gebruikt voor Girsanov heeft verwachting en definieert de beoogde prijs maatregel
Bronnen en verder lezen
Snelle check
De gids gelezen? Test jezelf met 3 vragen
Vraag 01
Welke verklaring het beste past bij deze gids . . Een positieve lokale martingale kan massa verliezen?
Kies een antwoord om de uitleg te zien
Optiewoordenlijst
The multiplicative process solving dZ = Z₋dX; for a continuous local martingale it is the ordinary exponential corrected by half its quadratic variation.
Lees de uitgebreide gidsGirsanov theoremA result that shifts Brownian drift through an absolutely continuous change of measure under suitable conditions while preserving the diffusion structure.
Lees de uitgebreide gidsMartingale representation theoremA theorem expressing suitable martingales as stochastic integrals against specified driving processes, linking representable risk to dynamic hedging.
Lees de uitgebreide gids