KPSS-stationariteitstoets: nulhypothese, statistiek en bandbreedte

De toets van Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin wordt meestal KPSS genoemd. De nulhypothese is omgekeerd aan die van de bekende Dickey–Fuller-toetsen: de reeks is stationair rond de opgegeven deterministische termen. In de oorspronkelijke opzet laat de alternatieve hypothese een random-walkcomponent met positieve innovatievariantie toe.

Een voldoende hoge KPSS-statistiek is bewijs tegen de gekozen nul van niveau- of trendstationariteit. Een lage statistiek betekent dat deze steekproef onder de gekozen instellingen niet genoeg bewijs opleverde om die nul te verwerpen. Dat bewijst niet dat het proces altijd stationair blijft, dat het gemiddelde stabiel is of dat een prijs terugkeert naar een bruikbaar handelsniveau.

De uitleg over stationariteit en eenheidswortels behandelt de verwante begrippen. De vergelijking van ADF en Phillips–Perron bespreekt twee toetsen die juist een eenheidswortel als nulhypothese nemen. Het zijn aanvullende vragen, geen twee versies van dezelfde toets.

KPSS beschrijft een waargenomen reeks als

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Hier is \(d_t\) het deterministische deel, \(r_t\) een random walk en \(\epsilon_t\) een stationaire foutterm. Bij een niveau-stationariteitstoets bevat \(d_t\) een intercept. Bij een trendstationariteitstoets bevat het een intercept en een lineaire tijdtrend.

Onder de nulhypothese is de innovatievariantie van de random walk nul: \(\sigma_u^2=0\). Zonder die random walk schommelt de reeks rond de gekozen constante of deterministische trend. De alternatieve hypothese staat \(\sigma_u^2>0\) toe, waardoor schokken zich kunnen opstapelen tot een stochastische trend in plaats van uit te doven rond het gekozen pad.

Dit is het model dat de toets aanneemt, niet de bewering dat elk alternatief een schoolvoorbeeld van een random walk is. Structurele breuken, fractionele persistentie, niet-lineaire dynamiek, veranderende variantie en verkeerd gekozen deterministische termen kunnen de nul eveneens slecht bij de steekproef laten passen. De toets laat spanning met het stationariteitsmodel zien, maar identificeert geen unieke vervanging.

Regresseer eerst de waarnemingen op de gekozen deterministische termen en noem de residuen \(\hat e_t\). De cumulatieve partiële sommen zijn

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

De KPSS-statistiek wordt doorgaans geschreven als

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

waarbij \(n\) de steekproefomvang is en \(\hat{\omega}^{\,2}\) de geschatte variantie op lange termijn van de residuen. Residuen met hetzelfde teken duwen \(S_t\) verder van nul. Omdat de partiële sommen worden gekwadrateerd tellen aanhoudende afwijkingen zwaarder mee dan losse tekenwisselingen.

De statistiek is niet-negatief. Hoe groter de opgebouwde afwijkingen ten opzichte van de geschatte variantie op lange termijn, hoe moeilijker de stationariteitsnul te handhaven is. De noemer is essentieel: seriële afhankelijkheid in residuen verandert ook bij een stationair proces de spreiding van partiële sommen.

De niveauversie vraagt of de reeks stationair is rond een constante. De trendversie verwijdert eerst een intercept en een lineaire tijdtrend en toetst daarna of het overblijvende deel stationair is. Veel implementaties noemen de versies mu en tau, maar namen en uitvoer verschillen per softwarepakket.

De keuze verandert zowel de residuen als de referentieverdeling. Als je een trend niet verwijdert uit een reeks die rond een trend stationair is, kan een lang residupatroon de statistiek verhogen. Zonder reden een trend toevoegen verandert het model dat je toetst en kan het vermogen om sommige alternatieven te ontdekken verlagen. Kies op basis van de gegevensdefinitie en de economische vraag, rapporteer die keuze en wissel niet achteraf naar een gunstig resultaat.

KPSS-kritieke waarden komen uit niet-standaard asymptotische verdelingen en verschillen voor niveau- en trendgevallen. Vergelijk de statistiek niet met een gewone t- of chi-kwadraatgrens en pas geen uit het hoofd geleerd getal toe op elke specificatie. Gebruik de passende tabel of software-uitvoer en vermeld het significantieniveau.

Sommige implementaties geven alleen een p-waardebereik omdat ze de statistiek met een beperkte tabel kritieke waarden vergelijken. Rapporteer dan het bereik dat de uitvoer ondersteunt in plaats van extra decimalen te verzinnen. Vermeld ook of het om niveau of trend gaat en welke kritieke-waardebron is gebruikt, zodat anderen de beslissing kunnen reproduceren.

<!-- learn:illustration -->

Een gebruikelijke schatter van de variantie op lange termijn gebruikt gewogen residu-autocovarianties:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Hier is \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) de steekproefautocovariantie bij vertraging \(j\), met noemer \(n\); conventies voor eindige steekproeven kunnen per implementatie verschillen.

Bij Bartlett-gewichten geldt \(w_j=1-j/(\ell+1)\). De afkapbandbreedte \(\ell\) bepaalt hoeveel residu-autocovarianties meetellen en hoe snel hun gewichten afnemen. Kernelfuncties, bandbreedteregels en eindige-steekproefconventies verschillen per implementatie; vermeld ze om het resultaat reproduceerbaar te maken.

Deze bandbreedte is niet het aantal vertraagde verschillen dat aan een ADF-regressie wordt toegevoegd. Bij KPSS bepaalt ze welke autocovarianties in de schatting van de variantie op lange termijn komen; bij ADF staan de vertraagde verschillen in de regressievergelijking zelf. Software noemt beide instellingen soms “lags”, waardoor alleen “lag 4” niet genoeg informatie geeft.

Een te korte bandbreedte kan relevante kortetermijnafhankelijkheid missen. Een veel langere bandbreedte kan ruisachtige steekproefautocovarianties toevoegen. Beide keuzes kunnen de statistiek en de omvang of het vermogen van de toets veranderen; er geldt geen vaste richting voor ieder residupatroon. Rapporteer de kernel en selectieregel en controleer of een redelijke, vooraf gemotiveerde variant de interpretatie verandert.

Deze correctie voor variantie op lange termijn hangt samen met heteroskedasticiteits- en autocorrelatie-consistente (HAC) covariantie-raming. Ze maakt de KPSS-toets niet robuust tegen alle afhankelijkheid, structurele breuken of een slechte deterministische specificatie. De uitleg over Newey–West-covariantie behandelt de bredere rol en beperkingen van HAC.

Stel dat een trendregressie op zes synthetische waarnemingen residuen \(1,-1,0,0,-1,1\) oplevert. De residuen tellen op tot nul en hun inwendig product met een lineaire tijdtrend is nul, zoals hoort bij residuen uit een trendregressie. De partiële sommen zijn \(1,0,0,0,-1,0\); de som van hun kwadraten is \(2\).

Gebruik voor deze rekenillustratie de steekproefautocovariantie met noemer \(n\) en Bartlett-bandbreedte één. De variantieterm is \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). De autocovariantie op lag één is \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), met gewicht \(1/2\). Dus

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Deze berekening met zes punten laat alleen de rekenstappen zien. De steekproef is veel te klein voor de gebruikelijke asymptotische KPSS-beslissing. Beoordeel de waarde niet met gepubliceerde kritieke waarden alsof dit een empirische uitkomst is.

Door KPSS naast een ADF-achtige toets uit te voeren zie je hoe gevoelig de conclusie is voor de nulhypothese. Lees het paar als bewijs onder twee verschillende modellen:

De toetsen kunnen verschillen in lagcorrecties, deterministische termen, gebruikte steekproef en eindige-steekproefbenadering. Stem keuzes waar mogelijk op elkaar af en noteer onvermijdelijke verschillen. Maak van de vier combinaties geen automatische regel om gegevens te differentiëren. Het niet verwerpen van een nulhypothese betekent niet dat die waar is.

Een eenmalige verschuiving in het gemiddelde, veranderende trend of variantiebreuk kan een proces dat binnen regimes stationair is over de hele steekproef niet-stationair laten lijken. Omgekeerd is een wortel dicht bij één met beperkte data moeilijk van een eenheidswortel te onderscheiden. Korte steekproeven, uitschieters, dikke staarten, niet-lineaire aanpassing en fractionele integratie kunnen de referentiebenadering verder verstoren.

Plot vóór rapportage het niveau, de gekozen deterministische fit en de residuen. Als een breuk aannemelijk is, gebruik dan een breukbewust ontwerp en vermeld de nulhypothese, behandeling van de breuk en kritieke waarden. Maak bekend als je meerdere breukdata of bandbreedtes hebt geprobeerd; de kleinste p-waarde uit zo'n zoekactie is geen onaangeroerde toetsuitkomst.

Voor een voorgesteld paar of spread toetst KPSS niet of twee activa gecointegreerd zijn. De uitleg over Engle–Granger behandelt een residugebaseerde cointegratietoets en het aparte probleem van de kritieke waarden. De gids over de Johansen-rang bespreekt een systeembenadering. Een KPSS-resultaat voor één prijsreeks vervangt geen van beide analyses.

Als je KPSS toepast op residuen na schatting van een hedge ratio, ARMA-model of breukdatum, komen die residuen uit een eerdere fitstap. Parameterschatting en modelselectie kunnen de nulverdeling veranderen. Neem niet aan dat gewone kritieke waarden voor de volledige procedure gelden; gebruik een residutoets die op het geschatte model is afgestemd of een bootstrap die de schattingsstappen herhaalt.

Vermeld de variabele en transformatie, het aantal waarnemingen, de niveau- of trendnul, deterministische termen, HAC-kernel, bandbreedteregel, statistiek, passende kritieke waarden of p-waarde en het significantieniveau. Geef een gevoeligheidsanalyse alleen als je alternatieven en redenen ervoor transparant rapporteert; kies niet achteraf uit veel vensters en versies de aantrekkelijkste uitkomst.

Vermeld bij marktgegevens de steekproefdata, frequentie, afstemming van handelssessies, behandeling van ontbrekende waarden en of je een prijs, rendement, residu of spread toetst. De KPSS-nul niet verwerpen bewijst niet dat een spread binnenkort convergeert. Een mean-reversionstrategie vereist ook een gedefinieerd evenwicht, evaluatie buiten de steekproef, signalen die op het moment van handelen beschikbaar zijn en realistische kosten voor spreads, funding, lenen en uitvoering.

Een toets op het niveau van de logprijs beantwoordt een andere vraag dan een toets op het rendement, de eerste differentie van de logprijs. Differentiëren kan onder sommige modellen een stochastische trend verwijderen, maar verandert ook de onderzochte variabele en bewijst geen langetermijnrelatie tussen twee activa. Kies de transformatie op basis van de te schatten grootheid en het model, en rapporteer haar expliciet.

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt en Shin formuleren de toets in hun artikel uit 199290104-Y) als een LM-toets of de variantie van het random-walkdeel nul is. Het artikel uit 1987 van Newey en West is een primaire bron voor positief semi-definiete HAC-covariantie-raming. Voor de vergelijking met een eenheidswortelnul, zie het artikel uit 1979 van Dickey en Fuller.