ADF versus Phillips–Perron: verschillen tussen unit-roottoetsen

In een autoregressieve vergelijking voor het niveau betekent een unit root dat een schok niet uit het niveau hoeft weg te ebben. Schrijf je de eerste verschilwaarde als regressie op het vertraagde niveau, dan wordt de hypothese zichtbaar: als de coëfficiënt van het vertraagde niveau nul is, heeft het niveauproces binnen het gekozen model een wortel op één. Een negatieve coëfficiënt wijst in de richting van een stationair alternatief, mits de deterministische termen en overige aannames passen.

De nulhypothese in gangbare ADF- en PP-implementaties is dus niet “de reeks is stationair”. De nul zegt dat er een unit root is; het alternatief is stationariteit rond de gekozen deterministische component. De nul niet verwerpen omdat de statistiek niet negatief genoeg is, bewijst geen unit root. De steekproef kan te weinig informatie bevatten om die te onderscheiden van een zeer persistente stationaire reeks met een autoregressieve wortel dicht bij één.

Dat verschilt van een toets met stationariteit als nul, zoals KPSS, en van een rechtstreekse cointegratietoets. De gids over stationariteit en unit roots behandelt de bredere begrippen; de Engle–Granger-gids gaat over het bijzondere geval waarin een lineaire combinatie van niet-stationaire reeksen stationair is.

Een unit-rootregressie kan geen deterministische termen, een constante of een constante met een lineaire tijdtrend bevatten. Dat zijn geen cosmetische keuzes. Een constante staat drift toe onder de unit-rootnul en een niet-nul gemiddelde onder het stationaire alternatief. Een tijdtrend laat dat stationaire alternatief rond een deterministische trend schommelen. De modelvorm en nulverdeling veranderen met deze termen.

Een onnodige trend kan de power verlagen doordat extra parameters worden geschat. Een echte drift of trend weglaten kan de grootte en interpretatie van de toets vertekenen. Kies de specificatie op basis van de vraag over het datagenererende proces en de grafiek van de reeks, vermeld die keuze expliciet en gebruik bijpassende kritieke waarden. Kies niet achteraf de variant die de gewenste verwerping oplevert.

Hetzelfde geldt voor logprijzen, spreads, rentetarieven en rendementen. Een stijgende trend kan bij een prijsniveau passen, maar niet bij rendementen. De toets kiest niet zelf welke economische variabele relevant is. Deterministische componenten horen bij de hypothese en zijn geen verborgen voorbewerkingsstap.

De augmented Dickey–Fuller-regressie kan zo worden geschreven:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Hier bevat dₜ de gekozen deterministische termen en luidt de nul H₀: γ = 0. De extra vertraagde verschillen moeten ervoor zorgen dat de resterende storing zich voldoende goed gedraagt voor de toetsbenadering. Ze modelleren kortetermijndynamiek parametrisch in de regressie; ze voegen geen nieuwe unit-rootbeperking toe.

De lagorde p is belangrijk. Te weinig lags kunnen seriële correlatie in εₜ achterlaten en de bedoelde benadering verzwakken. Te veel lags kosten vrijheidsgraden en kunnen de power verlagen, vooral bij een korte steekproef. Begin met een vermelde maximale lagorde, vergelijk een verdedigbaar informatiecriterium met residudiagnostiek en meld of naburige lagkeuzes de conclusie veranderen. Een kleine gekozen lag bewijst niet dat resterende afhankelijkheid onschadelijk is. Harris (1992)90022-Q) onderzoekt praktische keuzes rond ADF-lagstructuur, grootte en power.

Bij sommige processen is lagselectie lastig. Ng en Perron laten zien dat een moving-averageroot dicht bij −1 ertoe kan leiden dat gangbare AIC- of BIC-keuzes te weinig augmentatielags opnemen in de unit-rootprocedures die zij bestuderen. Hun aangepaste informatiecriteria zijn ontworpen voor unit-rootprocedures met GLS-detrending en verwante toetsen. Dat is een waarschuwing voor bepaalde dynamiek, geen algemene regel dat één criterium of een langere lag altijd beter is.

De Phillips–Perron-toets begint met een Dickey–Fuller-achtige regressie zonder de som van vertraagde verschillen uit ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Daarna corrigeert de toets de statistiek met schattingen van kortetermijnvariantie en langetermijncovariantie. Een gebruikelijke vorm voor die laatste schatting is:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

Hier zijn γ̂ⱼ residu-autocovarianties, is K een kernelgewicht en is ℓ een bandbreedte- of afkapkeuze. De precieze definitie verschilt per PP-statistiek en softwareconventie. Het conceptuele onderscheid blijft hetzelfde: ADF voegt vertraagde verschillen aan de regressie toe; PP past een niet-parametrische afhankelijkheidscorrectie toe op de statistiek van een kortere regressie.

PP is niet simpelweg “ADF met robuuste standaardfouten”. De correctie verandert de unit-rootstatistiek en de asymptotische behandeling ervan; een generieke robuuste regressie-uitvoer maakt gewone t-kritieke waarden niet geldig. Kernel en bandbreedte bepalen hoeveel afhankelijkheid de correctie oppikt. Een te kleine bandbreedte kan relevante correlatie missen; een te grote kan de schatting van de langetermijnvariantie ruisachtig maken.

<!-- learn:illustration -->

Onder de unit-rootnul komt het vertraagde niveau voort uit een stochastische trend, niet uit een stationaire regressor. Daardoor hebben DF-statistieken niet-standaard limietverdelingen. Ook bij een grote steekproef is de gewone t-tabel niet de juiste referentie. Kritieke waarden hangen af van het opnemen van een constante of tijdtrend en van de gekozen statistiek en implementatie.

PP-statistieken worden aangepast voor afhankelijkheid, maar de unit-rootnul wordt nog steeds beoordeeld tegen de passende niet-standaard referentiewet. Gebruik kritieke waarden of p-waarden uit een erkende implementatie die past bij de deterministische termen en statistiek. Vergelijk geen ADF-statistiek uit de ene specificatie met PP-kritieke waarden uit een andere en lees een weergegeven coëfficiënt-t-ratio niet als een gewone Student-t-statistiek.

Asymptotische kalibratie garandeert geen goed gedrag in elke eindige steekproef. Schwerts Monte-Carlo-onderzoek rapporteert gevoeligheid van unit-rootprocedures voor modelspecificatiefouten en verschillen in gedrag bij eindige steekproeven. Lees een p-waarde daarom samen met steekproeflengte, afhankelijkheidsstructuur, lag- of bandbreedtekeuze en regressiespecificatie.

De grootte is de kans dat een ware unit-rootnul wordt verworpen; power is de kans op verwerping onder een gekozen stationair alternatief. Een toets kan in één steekproef overtuigend lijken, maar een verkeerde grootte hebben onder de werkelijke afhankelijkheidsstructuur. ADF-lags en de PP-correctie voor langetermijncovariantie behandelen verwante problemen met verschillende benaderingen; de uitkomst van de ene garandeert niet dat de andere robuust is.

Controleer bij ADF of na het toevoegen van lags nog residu-autocorrelatie overblijft en of één extra lag de inferentie merkbaar verandert. Rapporteer bij PP het kernel en de bandbreedteregel en bekijk redelijke alternatieven. Dit zijn gevoeligheidscontroles, geen toestemming om veel specificaties te proberen en alleen de gunstigste p-waarde te behouden. De resultaten van Ng–Perron laten ook zien dat lagkeuze samenhangt met het foutproces en deterministische detrending; één mechanisch informatiecriterium lost niet elk ontwerp op.

Beide toetsen kunnen weinig power hebben tegen zeer persistente stationaire alternatieven. Niet verwerpen is geen positief bewijs dat verschillen nodig is. Is de steekproef kort, ligt de wortel dicht bij één of is de conclusie belangrijk voor het model, overweeg dan aanvullend bewijs en andere procedures met expliciete aannames in plaats van ADF en PP als onafhankelijke stemmen te tellen.

Een niveausprong, trendverandering, beleidsregime, wijziging van een valutakoppeling of verandering in marktstructuur kan een reeks zeer persistent doen lijken, terwijl stationaire segmenten rond een veranderend deterministisch pad passender kunnen zijn. Perrons analyse van grote historische veranderingen laat zien dat een unit-rootconclusie afhangt van de vraag of een breuk wordt toegestaan. Standaard ADF en PP ontdekken niet automatisch elke breuk.

Plot de reeks, documenteer bekende institutionele veranderingen en vraag of een breukbewuste toets of gesegmenteerd model de vraag beantwoordt. Achteraf in dezelfde steekproef naar een breuk zoeken kan de inferentie beïnvloeden. Gebruik een methode met kritieke waarden voor die zoekprocedure of benoem de analyse als verkennend. De Bai–Perron-gids behandelt regressiebreukschatting, niet een directe correctie voor ongewijzigde ADF of PP.

Ook de transformatie telt. Een prijsniveau, logprijs, prijsspread en rendement zijn economisch verschillende variabelen. Een vermoedelijk unit-rootniveau verschillen kan een stabielere reeks opleveren; een stationair niveau verschillen kan informatie wegnemen en een onnodig ruisachtige specificatie creëren. In parenonderzoek helpt cointegratieanalyse afzonderlijke stochastische trends te onderscheiden van een mogelijk stationaire spread. Geen van deze diagnoses bewijst op zichzelf dat een strategie winstgevend is.

Stel dat een hypothetisch niveau zich zo ontwikkelt:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ is een constante drift en de innovaties εₜ kunnen serieel afhankelijk zijn. Trek yₜ₋₁ af en je krijgt Δyₜ = μ + εₜ; de coëfficiënt γ van het vertraagde niveau is nul in de overeenkomstige verschillenregressie. Dit is de algebraïsche vorm van de unit-rootnul. De algebra levert geen p-waarde: de referentiewet blijft niet-standaard en hangt af van deterministische termen en de behandeling van afhankelijkheid.

Bij ADF proberen vertraagde verschillen de kortetermijnafhankelijkheid in de regressie weer te geven. Bij PP blijft de basisvergelijking korter en krijgt de statistiek een geschatte correctie voor langetermijncovariantie. Als de gegevens een breuk in de deterministische trend bevatten, kunnen beide standaardimplementaties verkeerd gespecificeerd zijn, ook wanneer software een precies ogende statistiek toont.

De vergelijking heeft dus drie lagen: de inhoudelijke nul, de regressie- en deterministische specificatie, en de correctie voor resterende afhankelijkheid. Als de eerste twee vaststaan, zijn ADF en PP nuttige alternatieve diagnoses. Alle drie veranderen totdat één toets verwerpt is geen robuustheidscontrole. Verschillende uitkomsten zijn een aanleiding om aannames en instellingen te bekijken, geen wedstrijd waarin de winnaar automatisch het model bepaalt.

Rapporteer de variabele en transformatie, steekproefperiode en frequentie, deterministische termen, ADF-lagregel en gekozen orde, of de PP-statistiek, kernel en bandbreedte. Vermeld nul en alternatief, statistiek, bijpassende kritieke waarde of p-waarde, en controles op residu-autocorrelatie en breuken. Is de uitkomst gevoelig voor verdedigbare instellingen, zeg dat dan; laat niet alleen de specificatie zien die een voorkeursverhaal steunt.

Een bruikbare werkwijze begint met het doel en economische model, kiest deterministische termen, voert een passend gespecificeerde ADF of PP uit, onderzoekt afhankelijkheid en mogelijke breuken en vergelijkt met aanvullend bewijs. De variantieverhouding-gids onderzoekt een andere implicatie van random-walkgedrag. Die toets heeft niet dezelfde nul en vervangt geen unit-roottoets.

ADF noch PP draagt op om te verschillen zodra een p-waarde een grens overschrijdt. Verschillen is een modelkeuze die afhangt van reeks en vraag: veranderingen voorspellen, een langetermijnrelatie schatten, een trading-spread testen of informatie in niveaus behouden kan tot andere keuzes leiden. De toets helpt bij die beslissing, maar de uiteindelijke transformatie hoort ook het datagenererende verhaal, stabiliteit, voorspeldoel en een eventuele cointegratiestructuur te respecteren.