De Hansen-J-toets: overidentificerende restricties in GMM uitgelegd

De gegeneraliseerde-momentenmethode (GMM) schat parameters door steekproefversies van theoretische momentvoorwaarden zo dicht mogelijk bij nul te brengen. In een instrumentele-variabelenmodel kan een momentvoorwaarde stellen dat een voorgesteld instrument bij de ware parameter ongecorreleerd is met de structurele fout. Andere modellen gebruiken implicaties van activaprijsvergelijkingen, Euler-vergelijkingen of restricties voor panelgegevens.

Als een model meer momentvoorwaarden dan onbekende parameters heeft, blijven er na de schatting restricties over om te toetsen. De Hansen-J-statistiek vat samen hoe ver de geschatte steekproefmomenten na toepassing van een bepaalde wegingsmatrix nog van nul af liggen. Dit is een gezamenlijke specificatietoets binnen die opzet. Het is geen directe controle die één instrument als “geldig” of “ongeldig” kan bestempelen.

Dit onderscheid is belangrijk in financieel en kwantitatief onderzoek. Een handels- of activaprijsmodel kan meerdere momentvoorwaarden opleveren, maar de uitkomst hangt af van de rendementen, factoren, instrumenten, datums en covariantieaannames waarmee die momenten zijn gedefinieerd. Een kleine p-waarde kan bewijs tegen dat geheel van aannames zijn; een grote p-waarde is geen onafhankelijk bewijs dat alle aannames kloppen.

Laat \(g_t(\theta)\) een vector zijn van bijdragen aan de momenten, met \(q\) componenten op datum \(t\), geëvalueerd bij parameter vector \(\theta\). Het steekproefgemiddelde is:

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

GMM kiest \(\hat\theta\) om een gewogen kwadratische afstand zoals de volgende te minimaliseren:

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

waarbij \(W_T\) een positieve wegingsmatrix is. De weging bepaalt hoeveel onenigheid tussen momentvoorwaarden in het criterium meetelt. Onder de vermelde steekproefaannames schat efficiënt GMM een gewicht dat samenhangt met de inverse van de langetermijncovariantiematrix van de momenten. De J-toets gebruikt het geminimaliseerde criterium, niet de doelfunctiewaarde bij parameters die zonder schatting zijn gekozen.

De formule is compact, maar de definities zijn niet uitwisselbaar. Een wijziging van de instrumenten verandert \(g_t\); een andere steekproef verandert het gemiddelde; een andere covariantiemethode verandert het gewicht; en een andere schatter kan de aangepaste parameters wijzigen. Voor een reproduceerbare J-statistiek zijn dus meer nodig dan een getal en het woord “robuust”.

Bij \(q\) onafhankelijke momentvoorwaarden en \(k\) lokaal geïdentificeerde parameters zijn de gebruikelijke vrijheidsgraden voor overidentificatie \(q-k\). Drie onafhankelijke momenten voor de schatting van twee parameters laten bijvoorbeeld één overidentificerende restrictie over. Onder de nulhypothese dat alle populatiemomenten gelden, wordt een correct gewogen J-statistiek asymptotisch vergeleken met een chi-kwadraatverdeling met dat aantal vrijheidsgraden.

Als het aantal momenten gelijk is aan het aantal parameters, is het model precies geïdentificeerd en kunnen de aangepaste momenten doorgaans op nul worden gebracht. Er zijn dan geen extra restricties voor de J-statistiek: de vrijheidsgraden zijn nul en er is geen toets op overidentificatie. Meer parameters dan onafhankelijke momenten leveren een afzonderlijk identificatieprobleem op, geen negatieve vrijheidsgraden of een zinvolle J-toets.

Tel effectieve onafhankelijke momentrestricties, niet alleen de kolommen in de software-uitvoer. Redundante instrumenten of lineair afhankelijke momenten kunnen de effectieve rang verlagen. De gebruikelijke chi-kwadraatreferentie vereist ook identificatie en andere voorwaarden voor grote steekproeven. Een nominale \(q-k\) herstelt geen singuliere of onnauwkeurig geschatte momentcovariantiematrix.

Stel dat een model drie momentvoorwaarden gebruikt om twee parameters te schatten; de gebruikelijke vrijheidsgraden zijn dan \(3-2=1\). Stel dat software een J-statistiek van \(5.4\) rapporteert met een wegingsprocedure die bedoeld is om overeen te stemmen met de genoemde covariantieaannames. Bij de gebruikelijke chi-kwadraatreferentie met één vrijheidsgraad hoort een p-waarde van ongeveer \(0.020\). Bij een vooraf gekozen niveau van 5% verwerpt de onderzoeker de gezamenlijke nulhypothese dat alle drie populatiemomenten nul zijn.

Die conclusie is smaller dan “instrument 2 is ongeldig”. De J-statistiek is één gewogen afstand voor het hele systeem en geeft niet aan welk moment het conflict veroorzaakt. Dezelfde uitkomst kan wijzen op een ongeldig instrument, een verkeerd gespecificeerde structurele vergelijking, een weggelaten dynamisch kenmerk, een verkeerd covariantiemodel of een ander probleem in de gehandhaafde opzet. Vervolgdiagnostiek en inhoudelijke kennis zijn nodig om de oorzaak te onderzoeken.

Bij een p-waarde van \(0.20\) is de juiste conclusie dat de toets de gezamenlijke restricties op het gekozen niveau niet verwerpt. Dat betekent niet dat “de instrumenten bewezen geldig zijn”. Een toets kan niet verwerpen omdat de restricties aannemelijk zijn, omdat de toets weinig onderscheidingsvermogen heeft of omdat de steekproef te klein of te lawaaierig is om schendingen te onderscheiden. Kies de grens voordat je allerlei modelvarianten bekijkt; blijven zoeken tot een p-waarde acceptabel lijkt, veroorzaakt een nieuw selectieprobleem.

De nulhypothese is een verzameling populatierestricties, geïnterpreteerd binnen het model en de asymptotische voorwaarden die de referentieverdeling rechtvaardigen. Als J verwerpt, is minstens een deel van dat gehandhaafde stelsel moeilijk te verenigen met de waargenomen steekproef onder de weging van de toets. De toets kan op zichzelf geen gebrekkige uitsluitingsrestrictie onderscheiden van een verkeerde functionele vorm, weggelaten toestandsafhankelijkheid, een fout in de dataconstructie of een ongeschikte langetermijncovariantie.

De toets stelt ook geen causaliteit vast. In een IV-opzet kan een toets op overidentificatie beoordelen of extra restricties onder het model gezamenlijk met elkaar verenigbaar zijn. Zij kan de uitsluitingsrestrictie voor elk instrument niet bewijzen, zeker niet als alle instrumenten dezelfde schending kunnen delen. Instrumentrelevantie en uitsluiting betekenen iets anders: gebruik eerste-fase- en zwakke-identificatiediagnostiek voor relevantie en leg het economische mechanisme achter uitsluiting uit.

Bij een lineaire activaprijstoepassing kan een J-achtige statistiek gezamenlijke prijsrestricties toetsen die volgen uit een bepaald factormodel en een verzameling testactiva. Verwerpen benoemt niet automatisch de ontbrekende factor of toont aan dat een andere verhandelbare strategie rendement oplevert. Niet verwerpen bewijst evenmin de economische juistheid van het model. De Fama–MacBeth-gids bespreekt een verwante procedure voor risicoprijzen in doorsnedegegevens en de inferentiegrenzen daarvan.

De klassieke Sargan-toets ontstond bij instrumentele-variabelenschatting onder strenge covariantieaannames, doorgaans homoskedastische fouten. De Hansen-J-toets is de GMM-statistiek voor overidentificatie op basis van een geschatte momentcovariantie; die kan heteroskedasticiteit meenemen en, met een passende langetermijncovariantie, ook afhankelijkheid door de tijd. Het label “Hansen” maakt de implementatie niet robuust tegen iedere specificatiefout. De covariantie- en wegingskeuzes moeten passen bij het momentproces.

Bij tijdreeksmomenten verandert seriële afhankelijkheid de langetermijnvariantie van het steekproefgemiddelde. Een HAC-schatting zoals Newey–West kan deel uitmaken van een geschikte covariantieberekening als de aannames en lagkeuze bij de gegevens passen. Panel- of geclusterde waarnemingen kunnen een andere covariantieconstructie vereisen. Een covariantiecorrectie die alleen voor coëfficiëntstandaardfouten wordt gebruikt, betekent niet automatisch dat de J-doelfunctie een passende wegingsmatrix had.

Eenstaps-, tweestaps- en iteratief GMM kunnen parameters met verschillende gewichten schatten. Bij efficiënte tweestapsprocedures voegt het geschatte gewicht zelf steekproefonzekerheid toe; standaardfouten en toetsgedrag kunnen kwetsbaar zijn, vooral als er veel momenten zijn ten opzichte van het aantal waarnemingen. De door Windmeijer onderzochte correcties voor kleine steekproeven betreffen variantieschatting in specifieke lineaire efficiënte tweestaps-GMM-instellingen. Het is geen universele correctie voor elke J-statistiek.

De J-toets test niet de sterkte van instrumenten. Zwak informatieve instrumenten kunnen parameterschattingen en gebruikelijke benaderingen onbetrouwbaar maken. Gebruik methoden voor zwakke identificatie in plaats van een geruststellende J-p-waarde als sterktediagnostiek te zien. De chi-kwadraatkalibratie voor grote steekproeven garandeert niet dat een korte financiële steekproef zich als de asymptotische limiet gedraagt.

Meer instrumenten of momentvoorwaarden kunnen aantrekkelijk lijken omdat ze informatie lijken toe te voegen. In dynamisch panel-GMM kan een wildgroei aan instrumenten endogene variabelen overfitten en het vermogen van specificatietoetsen om schendingen te detecteren verminderen. Een zeer hoge p-waarde na het opbouwen van een grote instrumentenset geeft daarom mogelijk weinig geruststelling. Rapporteer het aantal, licht de instrumentlags of het constructievenster toe en vergelijk waar zinvol met verdedigbare kleinere sets of samengevouwen instrumenten.

Kleine steekproeven, bijna-collineaire momenten, slechte covariantiematriceschattingen, parameters op de grens en zwakke identificatie kunnen de standaardboekinterpretatie ondermijnen. Dat vraagt om gevoeligheidsanalyse en passende alternatieve inferentie, niet om de mechanische claim dat J “geslaagd” is. Leg zoekwerk naar instrumenten, lagbereiken, factoren of steekproefselecties vast en presenteer de gunstigste uitkomst niet alsof die vooraf was vastgelegd.

Sommige dynamische-panelprocedures rapporteren een difference-in-Hansen- of C-toets voor een deel van de momentvoorwaarden, zoals een extra instrumentenblok. Conceptueel vraagt de geneste vergelijking of dat blok restricties toevoegt die verenigbaar zijn met de overige gehandhaafde momenten. De conclusie is voorwaardelijk op de rest van de specificatie; het is geen onafhankelijk certificaat voor elk instrument.

Het verschil tussen twee J-statistieken heeft alleen onder de relevante voorwaarden voor nesting, schatting en covariantie een referentieverdeling. De vergeleken modellen moeten compatibele steekproeven en momentdefinities gebruiken; ook weging en gedrag in kleine steekproeven verdienen aandacht. Een deeltoets kan minder onderscheidingsvermogen hebben als de volledige instrumentenset groot is. Rapporteer alle vergelijkingen wanneer meerdere blokken worden getoetst, in plaats van alleen een gunstige uitkomst te kiezen.

Vermeld de steekproef, parametervector, momentdefinities, het aantal waarnemingen, het aantal en de effectieve rang van de restricties en de vrijheidsgraden. Geef aan of de schatter eenstaps, tweestaps of iteratief is; hoe de wegingsmatrix is verkregen; welke covariantiestructuur is toegestaan; en welke correctie voor kleine steekproeven eventueel is gebruikt. Rapporteer de J-statistiek, referentieverdeling, p-waarde en de beslisgrens die voor de analyse is vastgelegd.

Toon aantallen en constructie van instrumenten, eerste-fase- of relevantiediagnostiek en de gevoeligheid van schattingen voor redelijke wijzigingen in de momentenset. Leg uit waarom de instrumenten voldoen aan de economische timing en uitsluitingsredenering; een niet-verworpen overidentificatietoets vervangt die uitleg niet. Definieer bij een deeltoets de deelverzameling en vergelijking. Zie endogeniteit en instrumentele variabelen voor IV-aannames en robuuste standaardfouten en HAC voor covariantiekeuzes.

De GMM-asymptotische theorie van Hansen (DOI), de IV-toets van Sargan (DOI), de analyse van zwakke identificatie door Stock en Wright (DOI), Roodmans studie van instrumentwildgroei (DOI), Windmeijers analyse van varianties bij tweestaps-GMM in kleine steekproeven (DOI) en de HAC-covariantiematrixschatter van Newey en West (DOI) behandelen verschillende onderdelen van deze aanpak. Hun resultaten gelden onder de vermelde aannames en zijn geen algemene goedkeuring van een empirisch model.