Volatiliti Realisasi Dua Skala: Menganggar Varians dengan Hingar Mikrostruktur

Varians realisasi lazimnya dikira dengan menjumlahkan pulangan kuasa dua. Jika harga log yang diperhatikan mengikuti harga cekap dengan sempurna, pemerhatian tambahan boleh menangkap laluannya dengan lebih terperinci. Namun, harga transaksi dan sebut harga sebenar turut mencerminkan lantunan bida-tawar, diskretisasi harga, kependaman dan kesan mikrostruktur lain. Pada sela masa yang sangat singkat, kesan ini boleh menjadi besar berbanding pergerakan harga cekap antara dua pemerhatian.

Oleh itu, varians realisasi naif boleh meningkat apabila pemerhatian dibuat dengan lebih kerap, walaupun varians bersepadu asas sepanjang sesi tidak berubah. Ini tidak membuktikan bahawa volatiliti ekonomi aset semestinya meningkat. Ia mungkin kesan perbezaan harga bising yang dikuasa duakan dan dijumlahkan berkali-kali. Panduan pengiraan volatiliti realisasi menerangkan ukuran biasa berupa jumlah pulangan kuasa dua; artikel ini menumpukan pada pembetulan satu sumber bias frekuensi tinggi.

TSRV diperkenalkan oleh Zhang, Mykland dan Aït-Sahalia dalam kajian awal dua skala masa mereka. Kaedah ini menggunakan dua resolusi untuk tujuan berlainan. Grid jarang mengurangkan bilangan increment yang tercemar hingar. Purata grid jarang yang dianjak mengelakkan kebergantungan pada satu titik permulaan sewenang-wenangnya. Grid halus penuh memberikan anggaran hingar untuk ditolak. Logik ini bergantung pada andaian dan pilihan sampel terhingga, maka hasilnya ialah anggaran yang mempunyai ketidakpastian, bukannya pemerhatian laluan sebenar yang telah dibersihkan.

Ambil \(X_t\) sebagai harga log cekap terpendam, yang dimodelkan dalam tetingkap sebagai proses berterusan dengan kadar varians setempat \(\sigma_t^2\). Sasaran ialah varians bersepadunya:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Pada masa pemerhatian \(t_i\), katakan harga log yang direkodkan ialah

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

dengan \(\epsilon_{t_i}\) sebagai hingar pemerhatian. Terbitan klasik menggunakan model asas dengan hingar min sifar, bebas antara masa pemerhatian dan daripada proses harga cekap, serta varians malar \(\omega^2\). Ia juga mengandaikan grid pensampelan sekata dan model proses harga cekap berterusan yang sesuai dalam tetingkap itu. Ini ialah syarat pemodelan, bukannya gambaran sejagat bagi data bursa.

Increment yang diperhatikan ialah \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). Ralat harga pada satu pemerhatian masuk ke dalam dua pulangan bersebelahan dengan tanda yang bertentangan: ralat positif menaikkan satu pulangan dan menurunkan pulangan seterusnya. Sebab itu pulangan yang dibina daripada harga bising tidak berkelakuan seperti ralat pengukuran bebas. Panduan variasi kuadratik dalam kewangan menerangkan sebab jumlah increment kuasa dua menyasarkan variasi laluan dalam keadaan tanpa hingar.

Sasaran di sini ialah varians bagi tetingkap masa tertentu. Ia bukan anggaran spread bida-tawar, ramalan atau kos pelaksanaan sebenar. Untuk persoalan lain tentang harga transaksi, lihat penganggar spread bida-tawar Roll. Perbezaan sasaran penting kerana pelbagai prosedur mikrostruktur menggunakan harga frekuensi tinggi tetapi menganggar kuantiti berlainan.

Bagi \(n\) pulangan pada grid rapat, takrifkan

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

Dalam model asas, komponen hingar bagi satu pulangan yang diperhatikan ialah \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), dengan \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Dengan mengabaikan sebutan silang yang jangkaannya sifar di bawah andaian kebebasan, jangkaan jumlah grid rapat adalah kira-kira

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

Sebutan pertama ialah varians bersepadu yang disasarkan. Sebutan kedua mengumpulkan sumbangan hingar bagi setiap pulangan rapat. Apabila sela pensampelan mengecil dan \(n\) bertambah, komponen hingar boleh mendominasi. Inilah sebabnya peraturan “sampel sekerap mungkin” tidak selamat apabila hingar pengukuran diabaikan. Aït-Sahalia, Mykland dan Zhang mengkaji isu kekerapan pensampelan terhingga yang optimum dalam kajian pensampelan dengan hingar mikrostruktur.

Anggaran ini ialah pernyataan tentang jangkaan di bawah suatu model. Sampel tertentu turut mengandungi sebutan silang rawak antara increment harga cekap dan hingar, jadi nilai realisasinya tidak semestinya sama dengan jangkaan. Jika varians hingar berubah dalam sehari, ralat bersiri saling bergantung atau masa pensampelan tidak sekata, ungkapan ringkas \(2n\omega^2\) mungkin tidak menerangkan bias. Dalam keadaan itu, formula yang kelihatan biasa boleh menghasilkan nombor yang tepat pada rupa tetapi menyasarkan pelarasan yang salah.

Pilih integer \(K>1\). Bagi setiap anjakan \(k=0,\ldots,K-1\), hitung varians realisasi grid jarang dengan mengambil satu harga yang diperhatikan bagi setiap \(K\) pemerhatian:

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Setiap increment jarang merangkumi sela lebih panjang, tetapi grid itu masih meliputi tetingkap pemerhatian yang hampir sama. Puratakan semua anjakan yang tersedia:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Anjakan penting. Satu grid jarang mungkin bermula sejurus sebelum atau selepas pergerakan besar lalu hasilnya sensitif kepada pilihan itu. Purata grid yang dianjak mengurangkan kebergantungan pada titik mula. Namun, ia tidak menghasilkan \(K\) set data bebas: grid menggunakan semula pemerhatian dan bergantung secara statistik.

Dengan hingar pemerhatian bebas yang mempunyai varians sama, dua komponen hingar di hujung pulangan jarang datang daripada pemerhatian yang berlainan. Oleh itu, varians perbezaannya kekal \(2\omega^2\). Bilangan pulangan jarang lebih kecil daripada pulangan rapat, maka anggaran purata grid jarang mengumpulkan bias hingar yang lebih rendah. Sumbangan isyaratnya kekal kira-kira sebesar varians bersepadu yang sama kerana increment jarang merangkumi seluruh tetingkap, bukan hanya sebahagiannya.

Ilustrasi yang mengiringi panduan ini bersifat konseptual: ia membandingkan laluan pemerhatian yang bergerigi dengan pandangan grid jarang yang dianjak di sekitar laluan terpendam yang lebih licin. Ia bukan data pasaran atau hasil anggaran sebenar.

<!-- learn:illustration -->

Untuk penganggar yang dibina daripada harga tinggi-rendah, bukannya binaan dua grid ini, lihat panduan penganggar volatiliti julat OHLC.

Biarkan \(\bar n\) mewakili bilangan purata pulangan jarang merentas grid anjakan, dan tetapkan \(\lambda=\bar n/n\). Di bawah model asas, bias hingar purata grid jarang kira-kira \(2\bar n\omega^2\). Bias hingar grid rapat kira-kira \(2n\omega^2\), jadi \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) menyumbang kira-kira \(2\bar n\omega^2\). Penolakan ini membatalkan sebutan hingar utama:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Perbezaan mentah ini turut menolak pecahan \(\lambda\) daripada isyarat varians bersepadu kerana kedua-dua varians realisasi mengandungi isyarat. Maka normalisasi sampel terhingga yang lazim digunakan ialah

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

Penyebut memulihkan pekali isyarat dalam pengiraan jangkaan yang mudah. Konvensyen dan pengendalian titik hujung berbeza mengikut pelaksanaan, jadi dokumentasikan takrif tepat \(n\), set anjakan dan pengiraan \(\bar n\). Pembetulan ini tidak menghapuskan ketidakpastian pensampelan atau membaiki model hingar yang dilanggar. Dalam kerangka asimptotik klasik, \(\lambda\) mengecil apabila sampel bertambah; faktor sampel terhingga masih boleh penting untuk tetingkap pendek.

Anggaran boleh menjadi negatif apabila \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Ini bukan variasi fizikal negatif; ini bermakna penolakan hingar sampel terhingga melebihi anggaran grid jarang. Menggantikannya dengan sifar mungkin memudahkan paparan seterusnya, tetapi ia mengubah penganggar dan menambah peraturan pemangkasan. Kekalkan serta laporkan anggaran mentah dalam analisis, semak skala dan andaian yang dipilih, dan nyatakan dengan jelas jika pemangkasan dibuat selepas itu.

Katakan tujuh titik harga log pemerhatian hipotetikal menghasilkan enam pulangan rapat dalam mata asas: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Jujukan kecil ini hanya untuk menunjukkan aritmetik, bukannya data bursa. Varians realisasi grid rapat ialah

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Tetapkan \(K=2\). Anjakan pertama menggabungkan pulangan rapat yang bersebelahan menjadi pulangan jarang \([2,-2,2]\) bp, dengan jumlah kuasa dua \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). Anjakan kedua menghasilkan \([0,0]\) bp dengan jumlah 0. Purata dua anggaran grid ialah \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Terdapat enam pulangan rapat dan dua anjakan mempunyai masing-masing tiga dan dua pulangan jarang. Maka \(\bar n=(3+2)/2=2.5\), \(\lambda=2.5/6=5/12\), lalu

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Dalam unit kuasa dua pulangan perpuluhan, anggarannya ialah \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\). Punca kuasa duanya kira-kira \(2.45\) bp bagi tetingkap hipotetikal ini dan belum dianualkan. Nilai yang sama dengan RV grid rapat ialah ciri jujukan kecil yang dibina itu, bukannya identiti TSRV. Laluan harga lain boleh menghasilkan anggaran lebih tinggi, lebih rendah atau negatif.

Aritmetik itu turut menunjukkan batasan model: laluan terpendam sebenar dan hingar tidak diperhatikan secara berasingan, maka sampel ini sahaja tidak membuktikan bahawa \(6\,\mathrm{bp}^2\) sama dengan varians bersepadu sebenar. Jumlah, skala dan unit boleh diaudit, tetapi penguraian tersembunyi tidak boleh disimpulkan daripada contoh. Literatur empirikal turut membincangkan kaedah realized-kernel, keluarga pembetulan hingar frekuensi tinggi yang berbeza dengan andaian dan pilihan pelaksanaannya sendiri.

Skala \(K\) mengimbangi bilangan pulangan jarang dengan pemurataan dan pembetulan hingar. Jika \(K\) terlalu kecil, banyak increment pendek kekal dan kepekaan kepada hingar mungkin tinggi. Jika \(K\) terlalu besar, hanya sedikit pulangan kasar tinggal, lalu anggaran jarang menjadi tidak stabil dan lebih terdedah kepada kesan tetingkap terhingga. Purata anjakan membantu isu penjajaran grid, tetapi tidak dapat mencipta maklumat yang tiada dalam sampel pendek atau berkualiti rendah.

Dalam analisis asimptotik asal, jarak grid jarang yang diutamakan meningkat dengan saiz sampel; di bawah notasi dan syarat asas makalah itu, susunannya ialah \(n^{2/3}\). Ini hasil penskalaan teori, bukannya arahan sejagat untuk menggunakan bilangan saat atau pemerhatian tertentu. Nilai optimum bergantung pada nisbah hingar kepada isyarat dan andaian; kerja susulan serta pelaksanaan praktikal mungkin menggunakan peraturan talaan dan konvensyen titik hujung yang berbeza. Laporkan sela pensampelan, \(K\), anjakan, sempadan sesi dan normalisasi sampel terhingga supaya anggaran boleh dihasilkan semula.

Analisis yang boleh dipertahankan boleh membandingkan beberapa nilai \(K\) munasabah yang ditentukan lebih awal dan memaparkan kepekaannya, bukannya memilih tetapan paling menarik selepas melihat hasil. Jika anggaran berubah banyak, ketidakstabilan itu sebahagian daripada dapatan. Pilih skala berdasarkan reka bentuk data dan peraturan yang didokumenkan, bukan selepas mencari anggaran volatiliti yang dikehendaki. Perbandingan boleh merangkumi varians realisasi yang lebih jarang atau alternatif teguh hingar, tetapi labelkan ukuran yang berlainan secara berasingan.

Pembetulan klasik diterbitkan untuk struktur hingar tertentu. Lantunan bida-tawar dan kesan mikrostruktur lain mungkin bersiri, berubah sepanjang sesi dagangan, bergantung pada kecairan atau berkorelasi dengan increment harga cekap. Hansen dan Lunde mendokumenkan dalam kajian varians realisasi dan hingar mikrostruktur interaksi yang boleh merangkumi kebergantungan masa dan korelasi dengan perubahan harga cekap. Aït-Sahalia, Mykland dan Zhang kemudian membangunkan kaedah dua skala untuk hingar mikrostruktur bersandar. Sambungan itu menjadi sebab untuk membezakan penganggar yang diubah suai daripada formula asal dengan hingar iid, bukannya menganggap formula asal menangani semua corak kebergantungan.

Isu praktikal lain termasuk masa pemerhatian tidak sekata, aset yang tidak segerak, sebut harga lapuk, diskretisasi harga, lonjakan, transaksi tersalah rekod, kesan pembukaan dan penutupan serta pemerhatian hilang. Semua ini boleh menjejaskan pembetulan grid rapat dan pulangan yang masuk ke grid jarang. Sama ada lonjakan termasuk dalam variasi kuadratik sasaran atau patut diasingkan bergantung pada soalan kajian; TSRV sahaja tidak menentukan pilihan pemodelan itu. Penapisan pemerhatian juga mengubah grid dan perlu didokumenkan.

Keteguhan terhadap hingar bukan kebal terhadap semua masalah data. Sebelum mentafsir anggaran sebagai ukuran varians terpendam, nyatakan sama ada input ialah harga transaksi, sebut harga atau harga tengah; terangkan transformasi pulangan dan asas masa; semak sama ada sela pemerhatian seragam; rekodkan peraturan pembersihan dan sesi; serta nilai kepekaan kepada \(K\). Jika proses hingar melanggar andaian asas, gunakan kaedah yang direka untuk keadaan tersebut dan terangkan andaian kaedah itu. Jangan sebut anggaran negatif sebagai volatiliti negatif atau diam-diam menukarnya kepada nombor positif.

Laporan telus menyatakan tetingkap sasaran, siri harga input, sela pensampelan, bilangan pulangan rapat, jarak jarang \(K\), set anjakan, peraturan titik hujung, andaian hingar, normalisasi, unit dan sebarang pemangkasan. Laporan boleh menunjukkan perbezaan mentah dan anggaran ternormal, bersama julat kepekaan bagi skala yang ditentukan lebih awal. Butiran ini menjadikan pengiraan boleh diaudit dan mengelakkan anggaran varians disalah anggap sebagai sebut harga, ramalan masa depan atau bukti strategi dagangan yang menguntungkan.

Varians bersepadu diukur sepanjang tetingkap yang diperhatikan. Pengannualan memerlukan konvensyen masa yang dinyatakan dan tidak seharusnya menyembunyikan corak intrahari, sela semalaman atau jurang dagangan. Punca kuasa dua menukar unit kepada volatiliti bagi tetingkap itu; ia tidak mewujudkan horizon ramalan. Ukuran realisasi sejarah boleh menjadi satu input kepada model, tetapi prestasi ramalan perlu dinilai secara berasingan pada data yang tidak digunakan untuk memilih tetapan penganggar.

Sumbangan utama TSRV bersifat metodologi: di bawah model hingar aditif yang jelas, ia menggunakan dua skala pensampelan untuk mengurangkan bias hingar utama yang menyebabkan varians realisasi frekuensi tinggi naif tidak konsisten. Kaedah ini tidak mengenal pasti punca setiap perubahan harga, menghapuskan risiko model atau memberitahu volatiliti seterusnya. Had ini perlu disertakan bersama nilai yang dilaporkan.