Penjelasan Variasi Kuadrat dalam Keuangan
Ketahui sebab kuadrat increment jalur tetap bertahan pada skala halus, menghasilkan koreksi Itô, dan menghubungkan volatiliti difusi dengan realized variance
Jawapan terus
Variasi kuadratik ialah had kuasa dua pertambahan laluan merentasi pembahagian masa yang semakin halus. Ia lenyap bagi laluan variasi terhingga berterusan, sama dengan masa berlalu bagi gerakan Brown piawai dan menghasilkan pembetulan dalam kalkulus Itô
Kuasakan dua pertambahan sebelum memperhalus masa
Bagi pembahagian π bagi [0,t], bentuk Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² dan perhalus jejaring menuju sifar
Apabila jumlah ini menumpu dalam pengertian kebarangkalian yang berkaitan, hadnya ialah variasi kuadratik [X]_t
Ia ialah konsep pengumpulan sepanjang laluan, bukan objek yang sama dengan varians statistik X_t merentas hasil berulang
Laluan licin dan variasi terhingga lenyap
Laluan berterusan yang mempunyai jumlah variasi terhingga mempunyai variasi kuadratik sifar kerana pertambahan kuasa dua kecilnya lenyap lebih pantas daripada jumlah mutlaknya
Itulah sebabnya lengkung harga terdiferens boleh biasa tidak menghasilkan pembetulan tertib kedua dalam peraturan rantai klasik
Variasi kuadratik mengasingkan kekasaran yang kekal kelihatan selepas pergerakan tertib pertama menjadi sangat kecil secara individu
Kekasaran Brown bertahan pada setiap skala
Gerakan Brown piawai mempunyai jumlah variasi tak terhingga pada setiap selang bukan remeh tetapi memenuhi [W]_t = t
Secara heuristik, kira-kira 1/Δt pertambahan masing-masing mempunyai saiz kuasa dua hampir Δt, jadi jumlahnya kekal dalam tertib satu
Hubungan ini ialah pernyataan had, bukan dakwaan algebra titik demi titik bahawa dW/dt wujud atau setiap pertambahan kuasa dua sama dengan dt
Kovariasi merekodkan pergerakan kasar bersama
Kovariasi kuadratik [X,Y] menjumlahkan hasil darab ΔX·ΔY merentasi pembahagian halus
Polarisasi memberikan [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), lalu menghubungkan variasi bersama dengan variasi kuadratik individu
Bagi pemacu Brown berkorelasi, kovariasi membawa kebergantungan serta-merta ke dalam formula Itô portfolio dan multivariat
Formula Itô mengekalkan terma tertib kedua
Bagi dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, variasi kuadratik berterusan ialah [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
Pengembangan Taylor mengekalkan 1/2 f''(X_t)d[X]_t kerana pertambahan stokastik kuasa dua terkumpul dan bukannya lenyap
Pembetulan ini memacu persamaan harga difusi dan membezakan kalkulus stokastik daripada kalkulus pembezaan biasa
Lompatan menambah saiz kuasa duanya
Bagi semimartingale dengan lompatan, variasi kuadratik merangkumi variasi martingale berterusan ditambah Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
Oleh itu, lompatan besar boleh mendominasi pergerakan kuadratik terealisasi sehari walaupun turun naik berterusan sederhana
Asingkan variasi berterusan, lompatan dan drift variasi terhingga apabila soalan ekonomi bergantung pada sumbernya yang berbeza
Varians terealisasi ialah penganggar, bukan had itu sendiri
Varians terealisasi frekuensi tinggi menjumlahkan pulangan intrahari yang diperhatikan dan dikuasakan dua untuk menghampiri variasi kuadratik terpendam
Persampelan terlalu jarang terlepas pergerakan, manakala persampelan terlalu halus membesarkan lantunan bid-ask, diskret harga, sebut harga tak serentak dan tick buruk
Bandingkan jejaring persampelan, bersihkan lompatan secara eksplisit, selaraskan waktu dagangan dan bezakan definisi pulangan sebelum mentafsir anggaran sebagai turun naik
Soalan lazim
Apakah variasi kuadratik dalam istilah mudah?
Ia ialah pergerakan yang kekal selepas banyak perubahan laluan kecil dikuasakan dua dan dijumlahkan merentasi grid masa yang semakin halus
Mengapa gerakan Brown mempunyai variasi kuadratik t?
Pertambahannya sepanjang Δt mempunyai skala kuasa dua Δt, dan kira-kira t/Δt pertambahan terkumpul menjadi t pada hadnya
Adakah variasi kuadratik sama dengan turun naik?
Tidak. Dalam difusi, ia bersamaan varians bersepadu, manakala turun naik biasanya ialah kadar seketika atau punca kuasa dua yang dinormalkan
Bagaimanakah lompatan mempengaruhi variasi kuadratik?
Setiap lompatan menyumbang saiz kuasa duanya, jadi variasi kuadratik mengandungi variasi martingale berterusan dan variasi lompatan diskret
Sumber dan bacaan lanjut
Semakan pantas
Sudah membaca panduan? Uji diri dengan 3 soalan
Soalan 01
Pernyataan manakah yang paling sepadan dengan panduan ini — Kuasakan dua pertambahan sebelum memperhalus masa?
Pilih jawapan untuk melihat penjelasan
Glosari opsyen
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Baca panduan terperinciGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Baca panduan terperinci