Ujian J Hansen: Sekatan Pengenalpastian Berlebihan dalam GMM

Kaedah momen umum (GMM) menganggarkan parameter dengan menjadikan versi sampel bagi syarat momen teori sehampir mungkin kepada sifar. Dalam model pemboleh ubah instrumental, sesuatu momen mungkin menyatakan bahawa instrumen yang dicadangkan tidak berkorelasi dengan ralat struktur pada parameter sebenar. Model lain menggunakan implikasi persamaan penentuan harga aset, persamaan Euler atau sekatan data panel.

Jika model mempunyai lebih banyak syarat momen daripada parameter yang tidak diketahui, masih ada sekatan yang boleh diperiksa selepas penganggaran. Statistik J Hansen merumuskan sejauh mana momen sampel yang dipadankan kekal jauh daripada sifar selepas matriks pemberat tertentu digunakan. Ini ialah ujian spesifikasi bersama dalam rangka tersebut, bukannya audit langsung yang boleh melabel satu instrumen sebagai “sah” atau “tidak sah”.

Perbezaan ini penting dalam kewangan dan penyelidikan kuantitatif. Model dagangan atau penentuan harga aset boleh membekalkan beberapa syarat momen, tetapi hasil ujian bergantung pada pulangan, faktor, instrumen, tarikh dan andaian kovarians yang mentakrifkan momen itu. Nilai p yang kecil boleh menjadi bukti menentang gabungan andaian tersebut; nilai p yang besar bukan bukti bebas bahawa semuanya benar.

Katakan \(g_t(\theta)\) ialah vektor sumbangan momen dengan \(q\) komponen pada tarikh \(t\), dinilai pada vektor parameter \(\theta\). Purata sampelnya ialah:

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

GMM memilih \(\hat\theta\) untuk meminimumkan jarak kuadratik berwajaran seperti:

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

dengan \(W_T\) sebagai matriks pemberat positif. Pemberat menentukan sejauh mana ketidakpadanan antara syarat momen menyumbang kepada kriteria. Di bawah andaian pensampelan yang dinyatakan, GMM cekap menganggarkan pemberat yang berkaitan dengan songsangan matriks kovarians jangka panjang momen. Ujian J menggunakan kriteria yang telah diminimumkan, bukannya nilai objektif pada parameter yang dipilih tanpa penganggaran.

Formulanya ringkas, tetapi takrifnya tidak boleh saling menggantikan. Perubahan instrumen mengubah \(g_t\); perubahan sampel mengubah purata; perubahan penganggar kovarians mengubah pemberat; dan perubahan penganggar boleh mengubah parameter yang dipadankan. Oleh itu, statistik J yang boleh diulang memerlukan lebih daripada satu angka dan perkataan “teguh”.

Jika terdapat \(q\) syarat momen bebas dan \(k\) parameter yang dikenal pasti secara setempat, darjah kebebasan pengenalpastian berlebihan yang lazim ialah \(q-k\). Contohnya, tiga momen bebas yang digunakan untuk menganggar dua parameter meninggalkan satu sekatan pengenalpastian berlebihan. Di bawah hipotesis nol bahawa semua momen populasi berlaku, statistik J yang diberatkan dengan betul dibandingkan secara asimptotik dengan taburan khi kuasa dua yang mempunyai darjah kebebasan tersebut.

Apabila bilangan momen sama dengan bilangan parameter, model dikenal pasti tepat dan momen yang dipadankan biasanya boleh dijadikan sifar. Tiada sekatan lebihan untuk dinilai oleh statistik J, maka darjah kebebasannya sifar dan tiada semakan pengenalpastian berlebihan. Bilangan parameter yang melebihi bilangan momen bebas menimbulkan masalah pengenalpastian yang lain; ia tidak menghasilkan darjah kebebasan negatif atau ujian J yang bermakna.

Kira sekatan momen bebas yang berkesan, bukan sekadar bilangan lajur dalam output perisian. Instrumen berlebihan atau momen yang bergantung secara linear boleh mengurangkan pangkat berkesan. Rujukan khi kuasa dua lazim juga bergantung pada pengenalpastian dan syarat sampel besar yang lain. Nilai nominal \(q-k\) tidak dapat membaiki matriks kovarians momen yang singular atau dianggarkan dengan buruk.

Andaikan model menggunakan tiga syarat momen untuk menganggar dua parameter, maka darjah kebebasan lazim ialah \(3-2=1\). Katakan perisian melaporkan statistik J sebanyak \(5.4\) dengan prosedur pemberat yang direka supaya konsisten dengan andaian kovarians yang dinyatakan. Berbanding rujukan khi kuasa dua satu darjah kebebasan, nilai p kira-kira \(0.020\). Pada aras 5% yang ditetapkan lebih awal, penyelidik akan menolak hipotesis nol bersama bahawa ketiga-tiga momen populasi bersamaan sifar.

Kesimpulan itu lebih terbatas daripada “instrumen 2 tidak sah”. Statistik J ialah satu jarak berwajaran bagi keseluruhan sistem dan ujian itu tidak mengenal pasti momen yang menyebabkan percanggahan. Hasil yang sama boleh mencerminkan instrumen tidak sah, persamaan struktur yang tersalah spesifikasi, ciri dinamik yang tertinggal, model kovarians yang salah atau kegagalan lain dalam rangka yang dikekalkan. Diagnosis susulan dan pengetahuan tentang bidang diperlukan untuk menyiasat puncanya.

Jika nilai p ialah \(0.20\), kesimpulan yang betul ialah ujian ini tidak menolak sekatan bersama pada aras yang dipilih. Ini bukan bermaksud “instrumen terbukti sah”. Ujian boleh gagal menolak kerana sekatan itu munasabah, kuasa ujian terhad, atau sampel terlalu kecil atau bising untuk membezakan pelanggaran. Tetapkan ambang sebelum memeriksa pelbagai variasi model; mencari sehingga satu nilai p kelihatan boleh diterima menimbulkan masalah pemilihan yang lain.

Hipotesis nol ialah sekumpulan sekatan populasi yang ditafsirkan di bawah model dan syarat asimptotik yang memberikan taburan rujukan kepada statistik. Apabila J menolak, sekurang-kurangnya sebahagian sistem yang dikekalkan sukar diselaraskan dengan sampel yang diperhatikan di bawah pemberat ujian. Ujian itu sendiri tidak dapat membezakan sekatan pengecualian yang buruk daripada bentuk fungsi yang salah, kebergantungan keadaan yang tertinggal, kesilapan pembinaan data atau anggaran kovarians jangka panjang yang tidak sesuai.

Ujian ini juga tidak menetapkan sebab-akibat. Dalam reka bentuk IV, ujian pengenalpastian berlebihan boleh menilai sama ada sekatan tambahan konsisten antara satu sama lain di bawah model. Ia tidak mengesahkan sekatan pengecualian bagi setiap instrumen, khususnya apabila semua instrumen mungkin berkongsi pelanggaran. Kerelevanan instrumen dan pengecualian mempunyai makna berlainan: gunakan diagnostik peringkat pertama dan pengenalpastian lemah untuk kerelevanan, serta terangkan saluran ekonomi yang menyokong pengecualian.

Dalam aplikasi penentuan harga aset linear, statistik sejenis J boleh menguji sekatan penentuan harga bersama yang tersirat oleh model faktor dan set aset ujian tertentu. Penolakan tidak secara automatik menamakan faktor yang tertinggal atau menunjukkan strategi boleh dagang lain akan memperoleh pulangan. Kegagalan menolak pula tidak menetapkan kebenaran ekonomi model itu. Panduan Fama–MacBeth menghuraikan prosedur harga risiko keratan rentas yang berkaitan dan had inferensnya.

Ujian Sargan klasik berasal daripada penganggaran pemboleh ubah instrumental di bawah andaian kovarians yang ketat, lazimnya gangguan homoskedastik. Ujian J Hansen ialah statistik GMM pengenalpastian berlebihan yang dibina menggunakan kovarians momen yang dianggarkan; ia boleh mengambil kira heteroskedastisiti dan, dengan anggaran kovarians jangka panjang yang sesuai, kebergantungan masa. Label “Hansen” tidak menjadikan pelaksanaan teguh terhadap setiap salah spesifikasi; pilihan kovarians dan pemberat mesti sepadan dengan proses momen.

Bagi momen siri masa, kebergantungan bersiri mengubah varians jangka panjang purata sampel. Anggaran HAC seperti Newey–West boleh menjadi sebahagian daripada pengiraan kovarians yang sesuai apabila andaian dan pilihan latnya sepadan dengan data. Pemerhatian panel atau berkelompok mungkin memerlukan binaan kovarians yang berbeza. Pembetulan kovarians yang digunakan untuk ralat piawai pekali sahaja tidak secara automatik bermaksud objektif J dibina dengan matriks pemberat yang sepadan.

GMM satu langkah, dua langkah dan berulang boleh menganggar parameter dengan pemberat berlainan. Dalam prosedur dua langkah yang cekap, pemberat yang dianggarkan itu sendiri menambah ketidakpastian sampel terhingga; ralat piawai dan tingkah laku ujian boleh rapuh, khususnya apabila bilangan momen besar berbanding pemerhatian. Pembetulan sampel terhingga yang dikaji Windmeijer berkaitan penganggaran varians bagi tetapan GMM dua langkah cekap linear yang khusus. Ia bukan pelarasan universal bagi setiap statistik J.

Ujian J bukan ujian kekuatan instrumen. Instrumen yang kurang bermaklumat boleh menyebabkan anggaran parameter dan penghampiran lazim tidak boleh dipercayai; gunakan kaedah yang direka untuk pengenalpastian lemah dan jangan anggap nilai p J yang kelihatan meyakinkan sebagai diagnostik kekuatan. Kalibrasi khi kuasa dua sampel besar tidak menjamin sampel kewangan pendek berkelakuan seperti had asimptotiknya.

Menambah instrumen atau syarat momen mungkin kelihatan menarik kerana seolah-olah menambah maklumat. Dalam GMM panel dinamik, lambakan instrumen boleh terlebih padan pemboleh ubah endogen dan melemahkan keupayaan ujian spesifikasi mengesan pelanggaran. Oleh itu, nilai p yang sangat tinggi selepas membina set instrumen besar mungkin tidak memberi banyak keyakinan. Laporkan bilangannya, jelaskan lat atau tetingkap pembinaan instrumen, dan bandingkan dengan set yang dikurangkan atau instrumen yang diringkaskan apabila sesuai.

Sampel kecil, momen yang hampir kolinear, anggaran kovarians yang lemah, parameter pada sempadan dan pengenalpastian lemah boleh menjejaskan tafsiran buku teks. Keadaan ini memerlukan analisis sensitiviti dan inferens alternatif yang sesuai, bukannya dakwaan mekanikal bahawa J “lulus”. Jika pemilihan model melibatkan banyak instrumen, julat lat, faktor atau pemotongan sampel, rekodkan pencarian itu dan jangan bentangkan keputusan paling baik seolah-olah telah ditetapkan terlebih dahulu.

Sesetengah aliran kerja panel dinamik melaporkan ujian Hansen beza atau ujian C bagi subset syarat momen, seperti blok instrumen tambahan. Secara konsep, perbandingan model bersarang bertanya sama ada blok itu menambah sekatan yang serasi dengan momen lain yang dikekalkan. Kesimpulannya bersyarat pada spesifikasi selebihnya; ia bukan sijil bebas untuk setiap instrumen.

Perbezaan dua statistik J mempunyai taburan rujukan hanya di bawah syarat pengbersarangan, penganggaran dan kovarians yang berkenaan. Model yang dibandingkan perlu menggunakan sampel dan takrif momen yang serasi, dan pemberat serta tingkah laku sampel terhingga perlu dipertimbangkan. Kuasa ujian subset juga boleh merosot apabila set instrumen penuh besar. Jika beberapa blok diuji, laporkan keseluruhan perbandingan dan jangan pilih hanya keputusan yang memihak.

Nyatakan sampel, vektor parameter, takrif momen, bilangan pemerhatian, bilangan dan pangkat berkesan sekatan, serta darjah kebebasan. Nyatakan sama ada penganggar satu langkah, dua langkah atau berulang digunakan; cara matriks pemberat diperoleh; struktur kovarians yang dibenarkan; dan pelarasan sampel kecil jika ada. Laporkan statistik J, taburan rujukan, nilai p dan ambang keputusan yang ditetapkan untuk analisis.

Tunjukkan bilangan dan pembinaan instrumen, diagnostik peringkat pertama atau kerelevanan, serta sensitiviti anggaran terhadap perubahan munasabah pada set momen. Terangkan alasan masa ekonomi dan pengecualian yang menyokong instrumen; jangan gantikan alasan itu dengan keputusan ujian pengenalpastian berlebihan yang tidak menolak. Jika menggunakan ujian subset, takrifkan subset dan perbandingannya dengan jelas. Rujuk panduan endogeniti dan pemboleh ubah instrumental untuk andaian IV dan panduan ralat piawai teguh dan HAC untuk pilihan kovarians.

Teori asimptotik GMM Hansen (DOI), ujian pemboleh ubah instrumental Sargan (DOI), analisis pengenalpastian lemah oleh Stock dan Wright (DOI), kajian lambakan instrumen oleh Roodman (DOI), analisis sampel terhingga varians dua langkah Windmeijer (DOI), dan penganggar kovarians HAC Newey–West (DOI) menangani aspek yang berbeza. Hasilnya terpakai di bawah andaian masing-masing, bukannya pengesahan umum bagi model empirikal.