Penjelasan Teorema Girsanov dalam Penetapan Harga Opsyen

Di bawah ukuran fizikal P, saham mungkin mengikuti dS/S = μdt + σdWᴾ, dengan μ mewakili pulangan jangkaan yang dimodelkan

Drift itu relevan untuk ramalan dan pemilihan portfolio, tetapi nilai opsyen tanpa arbitraj tidak sepatutnya bergantung pada anggaran μ yang sewenang-wenangnya dalam model difusi lengkap

Peralihan daripada kebarangkalian fizikal kepada kebarangkalian penetapan harga memerlukan lebih daripada menggantikan satu simbol dengan simbol lain. Ia memerlukan transformasi ukuran yang sah

Terbitan Radon–Nikodym mentakrifkan cara ukuran baharu menimbang peristiwa berbanding ukuran lama sehingga setiap masa

Bagi model Brownian, ketumpatan ini lazimnya ditulis sebagai eksponen stokastik yang dibina daripada proses yang sering dinotasikan sebagai λ

Ketumpatan itu mesti kekal positif dan mempunyai jangkaan satu. Jika tidak, ungkapan yang dicadangkan mungkin gagal mentakrifkan ukuran kebarangkalian yang setara

Dengan ketumpatan yang sah, Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt menjadi gerakan Brownian di bawah ukuran baharu Q, menggunakan satu konvensyen tanda yang biasa

Dengan menggantikan dWᴾ = dWᵠ − λdt, drift setiap proses yang terdedah kepada kejutan Brownian itu beralih

Pekali volatiliti yang mendarab dW tidak hilang. Perubahan ukuran difusi yang setara mengubah drift, bukan struktur kovarians serta-merta

Bagi saham tanpa dividen, pilih λ supaya drift Q menjadi kadar pendek r. Dengan hasil dividen q, drift ex-dividen lazimnya r − q

Kemudian aset jumlah pulangan terdiskaun ialah martingale Q, dan bayaran yang boleh direplikasi boleh dinilai melalui jangkaan Q yang didiskaunkan

Keputusan itu tidak mengatakan saham sebenarnya memperoleh r dalam dunia sebenar. Ia menyatakan cara driftnya muncul di bawah ukuran penetapan harga yang dipilih

Dalam kes pekali malar yang mudah, λ = (μ − r) / σ di bawah konvensyen tanda yang dinyatakan dan tanpa dividen

Dengan beberapa sumber risiko, vektor harga risiko mengalihkan drift melalui matriks pemuatan volatiliti. Tidak semua drift yang dikehendaki boleh dicapai jika pendedahan tidak mempunyai rank yang mencukupi

Dalam pasaran tidak lengkap, komponen harga risiko mungkin kekal tidak ditentukan oleh aset yang didagangkan, lalu menghasilkan lebih daripada satu ukuran martingale yang boleh diterima

Novikov, Kazamaki atau syarat berkaitan lazimnya digunakan untuk memastikan eksponen stokastik ialah martingale sebenar dan bukannya hanya martingale setempat

Kesetaraan juga mengekalkan peristiwa berkebarangkalian sifar. Transformasi tidak boleh menjadikan laluan yang benar-benar mustahil menjadi mungkin sambil kekal setara

Pekali yang meletup, martingale setempat ketat, ufuk tak terhingga atau keteraturan yang lemah boleh membatalkan penggunaan formula secara sambil lewa

Bagi proses lompatan, perubahan ukuran boleh mengubah keamatan lompatan dan taburan saiz lompatan selain drift berterusan

Model penetapan harga yang ditentukur menetapkan parameter neutral risiko secara langsung, tetapi menghubungkannya dengan anggaran fizikal masih memerlukan model premium risiko

Nyatakan ukuran asal, ukuran sasaran, ketumpatan, konvensyen tanda, numeraire, ufuk dan syarat sebelum mentafsir dinamik yang ditransformasikan