回帰の安定性と構造変化を検定するCUSUM

標本全体では良好に見える回帰でも、途中で関係が変化していることがあります。ある時期の正の予測誤差と後の負の予測誤差は、全期間をまとめた通常の要約では相殺される場合があります。回帰CUSUM検定は時間順序を保ちます。再帰的な予測誤差を累積し、係数が安定している場合に予想される経路からどれほど離れたかを確認します。

Brown、Durbin、Evansは再帰残差を用いた回帰安定性の手法群を開発し、CUSUMと二乗CUSUMを含めました。これらはモデルの仮定のもとで、標本期間を通じて回帰関係が一定であるという説明とデータが整合するかを扱います。変化の原因は説明しません。また、別途選んだ目標平均からの偏差を累積する産業工程管理のCUSUM規則とも異なります。

このガイドではBrown–Durbin–Evansの回帰CUSUMを扱います。ソフトウェアによっては異なる統計量に「CUSUM」という名前を使うため、報告では名称だけに頼らず、残差系列、尺度調整、境界、参照分布を明記してください。

回帰を \(y_t=x_t'\beta+u_t\) と書きます。モデルに切片がある場合、\(x_t\) に切片も含め、\(k\) は係数の数とします。まず、計画行列が列フルランクで回帰を推定できるだけの初期観測を使います。その後の各観測では、\(t-1\) までのデータだけで回帰を当てはめ、\(y_t\) を予測します。

直前までの説明変数を含む行列を \(X_{t-1}\) とすると、再帰残差は次のとおりです。

\[ w_t=\frac{y_t-x_t'\hat\beta_{t-1}}{\sqrt{1+x_t'(X_{t-1}'X_{t-1})^{-1}x_t}},\qquad t=k+1,\ldots,T. \]

分子は1期先の予測誤差です。分母は \(x_t\) に依存するレバレッジに応じて予測の不確実性を調整するもので、市場ボラティリティそのものの推定ではありません。適切な固定説明変数と独立・等分散誤差を備えた古典的な安定線形モデルでは、再帰残差の平均はゼロで、互いに無相関であり、誤差分散も共通です。これらの性質が累積の根拠になります。最小二乗法で推定しただけで自動的に成立するわけではありません。

初期観測は係数を定めるものであり、この再帰計算による標本外残差の系列ではありません。初期計画行列がほぼ特異なら、その後の予測も不安定になりえます。初期標本、説明変数、変換を明記してください。それぞれが残差経路と検定対象を変えるためです。

選択した実装で使う尺度推定値を \(\hat\sigma\) とすると、観測 \(r\) までの累積経路は次のように書けます。

\[ C_r=\frac{1}{\hat\sigma}\sum_{t=k+1}^{r}w_t. \]

安定性の帰無仮説のもとでは、標本変動の範囲で正負のイノベーションは均衡するはずです。描画した経路を、検定の帰無分布から導いた臨界境界と比較します。境界を越えると、仮定が適切である条件のもと、選んだ有意水準で係数一定性を棄却します。尺度調整や境界の作り方は実装により異なります。手描きの固定帯を対応する臨界値の代わりにしてはいけません。

経路の向きはパターンを理解する助けになります。正の再帰誤差が続くと、観測結果が事前の適合値を何度も上回るため累積和が上昇します。負の誤差が続けば下降します。誤差が交互に現れる場合、個々の残差が小さくなくても経路は以前の水準付近にとどまることがあります。CUSUMは予測誤差の大きさと順序の両方を使います。

切片の変化は、他の条件が似ている場合、同じ向きの残差を生みやすいです。傾きの変化では、\(x_t\) の水準や符号によって予測誤差の向きが変わりえます。説明変数が平均付近を行き来すると、実際に傾きが変化していても単一の累積経路では一部が相殺されることがあります。したがって境界内にあることは、すべての係数が不変だという証明ではありません。再帰係数の経路、交互作用の検定、検出力も検討してください。

尺度調整した再帰残差が仮に \(+0.4\) で6回続けば、累積増加は \(2.4\) です。\( +0.4,-0.4,+0.4,-0.4,+0.4,-0.4\) の系列なら最後はゼロになります。どちらも絶対値は同じですが、最初の系列だけに持続的な方向があります。この和は仕組みを示す例であり、臨界値、p値、実資産に関する証拠ではありません。

二乗CUSUMでは、符号ではなく再帰残差の二乗を累積します。累積シェアの簡単な形は次のとおりです。

\[ Q_r=\frac{\sum_{t=k+1}^{r}w_t^2}{\sum_{t=k+1}^{T}w_t^2}. \]

安定した等分散の誤差過程であれば、累積シェアは観測数におおむね比例して増えるはずです。大きな二乗残差が集中すると経路が急になり、静かな期間には緩やかになります。Brown、Durbin、Evansは符号付きCUSUMと合わせてこの方法を扱い、後続研究では通常最小二乗残差に基づく二乗CUSUM検定が研究されています。

二乗残差の経路を純粋なボラティリティ検定や、係数変化を検出する明快な代替検定と見なしてはいけません。大きな観測値、分散変化、条件付き平均の誤指定、回帰係数の変化はどれも影響しえます。逆に、正負の誤差が均衡していても、分散が変化すれば符号付きCUSUMの基準分布が適切でなくなることがあります。ARCH-LM検定は二乗残差の予測可能性をより限定して問いますが、あらゆるボラティリティの形を診断するものではありません。

固定日のChow検定は、事前に指定した日付の前後で回帰係数を比較します。一方、回帰CUSUMは時系列順の再帰経路を調べ、外部から一つの変化日を指定する必要がありません。境界を越えても、急激な変化が始まった正確な日付は分かりません。緩やかなドリフト、複数の変化、外れ値の連続、分散モデルの失敗では、それぞれ異なる経路になりえます。

変化日が分からず、単一の変化を正式に検定するなら、Andrewsのsupremum Wald、尤度比、ラグランジュ乗数の手法があります。候補日を検索し、その検索を反映した非標準の臨界値を使います。統計量と臨界値はBrown–Durbin–EvansのCUSUM境界と置き換えられません。複数の変化点を扱うには別の手順と仮定が必要です。指定日比較はChow検定ガイド、より広い探索問題は未知の変化点に関するAndrewsの論文を参照してください。

分析者が多数の診断を試す場合、この違いは重要です。CUSUM、二乗CUSUM、候補日、説明変数、標本期間を何度も試すと選択の問題が生じます。事前に指定した一つの検定の名目有意水準では、その中の少なくとも一つが誤警報となる確率を表せません。結果を見る前に確認する経路や統計量を記録するか、検索を考慮する推論手順を使います。

遡及検定は固定された過去標本を評価します。監視規則は基準期間の後に届くデータを繰り返し評価します。新しい観測のたびに一回限りの境界を適用しても、名目上の誤警報率が保たれるとは限りません。繰り返し判断する場合の確率構造は異なります。

Chu、Stinchcombe、Whiteは、過去標本から安定関係を推定した後のリアルタイム監視に向け、変動とCUSUMの手順を開発しました。論文の漸近条件のもとで繰り返し確認を考慮した境界を使います。基準標本が適切である必要があり、警報後の対応、パラメーターの更新方法、監視期間も定義しなければなりません。そうした選択なしに過去の回帰CUSUM図をオンライン手順と呼ぶべきではありません。

取引システムでは、警報は新しいデータがモデルと十分合わず、安定性の仮定に疑問が生じたことを意味します。調査や事前に定めたリスク確認のきっかけにはできますが、どの係数が変わったか、取引すべきか、エクスポージャーを減らせば成績が改善するかは示しません。繰り返し監視を行うなら、統計的閾値とともに検出遅延や誤警報の費用を評価してください。

古典的な再帰残差の導出では、正しく指定された線形関係、安定した誤差分散、系列相関のない誤差過程を仮定します。金融時系列では、ボラティリティ・クラスタリング、厚い裾、古い価格や非同期価格、重複するリターン期間、市場構造の変化によって条件が崩れることがあります。残差の連続は係数の真の変化かもしれませんが、欠落した動学、タイムスタンプの誤り、参照分布を変えるボラティリティ局面かもしれません。

通常最小二乗法の後で共分散推定量を変更しても、有効なCUSUM境界が自動的に得られるわけではありません。不均一分散や依存に対するロバスト推論には、その条件に合わせて設計された統計量と参照分布が必要です。回帰CUSUM図は安定性の診断であり、残差依存の確認、条件付き不均一分散の検定、仕様の検証に代わるものではありません。関連する場合はARCH-LM検定ガイドとロバスト標準誤差ガイドも参照してください。

残差を作る前に標本間隔と市場カレンダーを決めます。長期休場をまたぐ終値間リターンは、通常の取引セッションのリターンと同じ間隔ではありません。企業行動、先物の限月乗換え、通貨換算、欠測も不安定性に見える予測誤差を生みえます。時点 \(t\) の観測がモデルで何を意味するか説明せず、欠測を補完したり資産を機械的に同期させたりしないでください。

目的変数、説明変数、切片、変換、標本日付、頻度、初期推定期間、再帰残差の数を明記してください。残差を再帰予測分散で尺度調整したか、\(\hat\sigma\) をどう推定したかも示します。CUSUMまたは二乗CUSUMの種類、参照分布、臨界水準、境界規則、結果に影響するソフトウェアの既定値を特定してください。

経路または統計量は、係数推移や残差診断と合わせて提示してください。境界を越えたことは、検定したモデルのもとで一定性に反する証拠であり、経済的原因や特定の出来事の因果効果を示す推定値ではありません。予測や取引が目的なら、時系列順のホールドアウトを使い、各警報がいつ利用可能になったかを示し、スプレッド、マーケットインパクト、手数料、借株、資金調達、回転率を考慮します。固定モデルへの対応と比較してください。安定性の警告はモデル見直しのきっかけになりますが、適応型ルールに優位性がある証明ではありません。

Brown、Durbin、Evansは1975年の論文で再帰残差CUSUMと二乗CUSUMの安定性検定を紹介しました。McCabeとHarrisonは通常最小二乗残差を使う二乗CUSUM検定を研究しました。未知の変化点はAndrews（1993）、逐次監視はChu、Stinchcombe、White（1996）を参照してください。関連ガイドはOLS回帰、Chow検定、ボラティリティ・クラスタリングです。