金融におけるRadon–Nikodym導関数：確率の重みを変える方法

Pが確率0とする全事象をQも0とするとき、QはPに絶対連続でQ ≪ Pと書きます

Radon–Nikodym定理は、このときPの零集合を除いて一意な非負密度Z = dQ/dPが存在すると述べます

PとQが互いに絶対連続なら同値であり、どの事象が不可能かについて一致します

任意の事象AについてQ(A) = E_P[Z 1_A]で、両者が確率測度ならE_P[Z] = 1です

Zが1より大きい結果はQで相対的な重みが増え、1より小さい結果は減ります

ここでの導関数は時間や価格による微分ではなく、一つの測度を別の測度と比べる密度です

必要な可積分性の下で、ペイオフXにはE_Q[X] = E_P[ZX]が成り立ちます

この式はペイオフや標本空間を変えず、同じXを異なる重みで平均します

測度が同値でZが正ならdP/dQ = 1/ZがQ概確率1で成り立ち、測度間の密度には連鎖律もあります

状態sでp_sが正ならZ_s = q_s/p_sであり、q_s = p_s Z_sです

一つの分布から標本を取り、尤度比で平均を補正する重点サンプリングと同じ論理です

密度の変動が大きいと少数状態に重みが集中し、恒等式が正確でもMonte Carlo推定は不安定になります

終端密度Z_TからZ_t = E_P[Z_T | F_t]と定義すると、非負のPマルチンゲールになります

Z_tが正ならE_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_tが成り立ちます

フィルトレーションは、時点tの情報で終端の再加重をどこまで把握できるかを決めます

資産価格モデルは、適切に割り引いた取引価格がマルチンゲールまたは局所マルチンゲールとなる同値測度Qを探します

Girsanov定理は、密度がBrown運動のドリフトを変えつつ拡散不確実性と零確率事象を保つ方法を示します

マネーマーケットをニュメレールとすれば、適切な仮定の下でSDFは割引項とdQ/dPの積で表せます

リスク中立Qは価格評価測度であり、現実測度Pの発生頻度予測と同じとは限りません

提案する密度は非負で平均1、情報流に適合し、対象の割引資産をマルチンゲールにする必要があります

基準・対象測度、ニュメレール、期間、密度の向き、可積分性、数値診断を明記して変換期待値を使います