特性関数によるオプション価格評価を理解する

実確率変数Xのφ(u)=E[e^{iuX}]は、複素指数の絶対値が1なので、すべての実周波数uで定義されます

モーメント母関数と違い、実軸上で存在するだけなら有限の指数モーメントを必要としません

全周波数の値がXの法則を一意に決め、位置、散らばり、非対称性、裾、不連続性をまとめて表します

欧州型ペイオフh(S_T)の基本的なリスク中立価格は、適切な条件の下でE^Q[e^{-∫r ds}h(S_T)]です

変換法はX_T=log S_Tやフォワード対数価格を使いますが、割引とニュメレールの規約を変換に合わせる必要があります

測度変更を正しく定めず、現実測度の特性関数をリスク中立価格へ代入することはできません

十分な正則性があれば、φの逆Fourier積分から密度を、別の逆変換式から分布関数を復元できます

Gil–Pelaez公式は、e^{-iux}φ(u)/uの虚部を含む積分で累積確率や裾確率を表します

これらは広義積分なので、ゼロ付近の極限と高周波での挙動を解析的かつ数値的に注意して扱います

コールのペイオフはS_Tとともに増えるため、減衰や積分路の移動なしでは実軸上でFourier積分可能ではありません

減衰した価格を変換する、適切な帯域でペイオフを変換する、資産項と行使価格項の確率へ分解する方法があります

等価な式でも、符号、正規化、状態変数、複素引数の規約が異なる場合があります

Black–Scholes、Heston、アフィン・ジャンプ拡散、多くのLévyモデルは遷移密度より特性関数を得やすいモデルです

特性関数にはモデル仮定、リスク中立パラメータ、期間、初期状態、相関、ジャンプ補償項が反映されます

φを知ることは計算上の利点であり、選んだ動学が市場価格や将来リターンに合う証拠ではありません

有限の積分範囲は打切り誤差、周波数間隔は求積誤差、FFT格子は折り返しと補間誤差を生みます

振動の相殺や複素対数の枝を一貫して扱わないと、滑らかでも誤った価格が出ることがあります

適応求積、制御変量、減衰、別の価格式、高精度演算は、それぞれ異なる誤差を対象にします

φ(0)=1、共役対称性φ(−u)=overline{φ(u)}、価格規約が要求するマルチンゲール・モーメントを確認します

Black–Scholesなど既知の極限、プット・コール・パリティ、単調性、凸性、独立した数値法と比較します

範囲、格子、減衰、許容誤差、満期、行使価格を変えても、信頼する桁が安定している必要があります