COS法によるオプション価格評価を理解する

満期対数状態Xの特性関数が既知で、オプションが満期にv(X)を支払うとします

整合する評価測度で割り引いた価値は、v(x)とXの条件付き密度の積分です

COSは経路シミュレーションや価格格子の後退計算ではなく、この積分を有限コサイン級数で近似します

対数価格は通常、実数全体を取るため、経済的に重要な確率質量の大半を含む有限区間[a,b]を選びます

[a,b]外の確率はコサイン項を省く前から状態領域の切断誤差を生みます

狭すぎる区間は裾を落とし、広すぎる区間は同じ局所特徴を解像するのに多くの項を要します

[a,b]上の密度を、非負整数kに対するcos(kπ(x−a)/(b−a))の基底で展開します

係数はRe{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}から近似でき、密度全体を直接復元する必要がありません

通常のプライム付き総和ではゼロ周波数項を半分に重み付けし、この小さな規約が価格水準を左右します

各密度係数に、[a,b]でv(x)と対応するコサイン基底を積分した係数を掛けます

欧州型コールとプットは解析的なペイオフ係数を持ち、別の支払いでは安定した数値積分が必要な場合があります

モデル係数とペイオフ係数を分けると、多数の行使価格や契約で変換計算の多くを再利用できます

滑らかな密度でコサイン係数が速く減衰すれば、項数Nの増加に対し多くの場合、指数的に速く収束します

短期、鋭い密度、原子、厚い裾、不連続ペイオフは収束を遅らせ、非滑らかな点の近くで振動を作ります

高速という評価は正則性に依存し、すべてのモデルとペイオフに一定精度を保証するものではありません

モーメントが存在し規約が合えば、c₁±L√(c₂+√c₄)のようなキュムラント経験則がよく使われます

尺度Lは普遍的でなく、高次キュムラントが不安定または存在しなければ、慣れた区間則も誤解を招きます

裾確率境界、より広い基準区間、複数の[a,b]での価格安定性が、一つの経験設定より強い証拠です

Nを十分大きく固定して[a,b]を広げ、領域切断を診断した後、安定区間でNを増やして級数収束を調べます

φ(0)、ゼロ項の半重み、割引、ペイオフ係数、パリティ、価格境界、単調性、凸性を確認します

較正ループへ入れる前に、選んだ価格を直接Fourier求積や独立した別手法と比較します