QLIKE frente al error cuadrático en pronósticos de volatilidad: proxies con ruido

Un modelo de volatilidad pronostica cuánto podría dispersarse un rendimiento futuro, no si será positivo o negativo. Para evaluarlo, define primero el objetivo; por ejemplo, la varianza condicional del rendimiento de mañana, medida en puntos básicos al cuadrado. Los pronósticos de desviación estándar y de varianza, así como las estimaciones de varianza realizada intradía, son magnitudes relacionadas, pero no intercambiables sin especificar una transformación y un horizonte.

Esta cuestión es independiente de cómo el modelo genera su pronóstico. La guía de GARCH explica una forma de actualizar la varianza condicional a partir de rendimientos pasados. Esta guía empieza cuando dos o más modelos ya han pronosticado y pregunta cómo puntuarlos frente a una medición imperfecta de la varianza que se produjo después.

“Mejor pronóstico” no tiene un único significado hasta que se fijan el objetivo, la muestra de evaluación y la función de pérdida. Un modelo puede quedar primero con una pérdida y segundo con otra porque cada función asigna un coste distinto a los errores de pronóstico

Sea vₜ la varianza condicional no observada del rendimiento objetivo, hₜ un pronóstico elaborado con la información disponible antes de ese rendimiento y xₜ un proxy observado que se usa para evaluar. Un proxy habitual es el rendimiento al cuadrado, pero solo es condicionalmente insesgado para la varianza cuando la media condicional del rendimiento es cero. Si esa media no es cero, el rendimiento bruto al cuadrado estima el segundo momento condicional, no la varianza condicional; otra opción es construir el proxy con rendimientos a los que se haya restado la media condicional. La varianza realizada, calculada a partir de rendimientos intradía, puede aportar más información sobre la variación durante una sesión, pero sigue midiendo un intervalo y depende de las reglas de muestreo y de los datos de precios.

Quitar la media no elimina automáticamente el sesgo del proxy cuando la media condicional se estima. Si mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁) y la media estimada m̂ₜ se fija con información disponible en el origen de la predicción, entonces E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Por tanto, cualquier error predecible al estimar la media añade al proxy un término no negativo. Antes de invocar un resultado de insesgadez condicional, indique cómo se estima la media y si el proxy tiene como objetivo la varianza o el segundo momento.

xₜ y hₜ deben corresponder al mismo activo, definición del rendimiento, ventana temporal, horizonte y unidades. Si xₜ se mide en bp², hₜ también debe expresarse en bp²; entonces la pérdida de error cuadrático se mide en bp⁴. No evalúes un pronóstico diario de varianza entre cierres frente a una medida realizada que omite el intervalo nocturno, salvo que ese sea el objetivo previsto.

Conserva los valores del proxy y los pronósticos de todos los modelos para los mismos orígenes de evaluación. Si a un modelo le falta un pronóstico en una fecha, fija de antemano una muestra común o una regla justificada para los datos ausentes. Comparar promedios calculados en fechas distintas puede mezclar el rendimiento del modelo con las diferencias entre las condiciones de mercado que afrontó cada uno

La pérdida de error cuadrático para un proxy de varianza no negativo xₜ y un pronóstico de varianza positivo hₜ es:

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

La pérdida QLIKE es:

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Cuanto menor sea el valor, mejor. Cuando xₜ es estrictamente positivo, QLIKE también suele escribirse en la forma de cociente xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. Las fórmulas difieren en un término que depende del proxy observado, pero no del pronóstico; por tanto, dan el mismo rango en una muestra común. La forma log(hₜ) también está definida cuando xₜ es cero, siempre que hₜ sea positivo. Patton define así estas pérdidas de varianza y estudia su comportamiento con proxies imperfectos (Patton, 2011).

QLIKE corresponde a una puntuación de cuasi-verosimilitud gaussiana para pronósticos de varianza (Hansen y Lunde, 2005). Esa relación no demuestra que los rendimientos sean gaussianos, y una puntuación baja tampoco valida los supuestos distributivos del modelo. El error cuadrático mide el cuadrado de la diferencia absoluta entre el proxy y el pronóstico. La cuestión es qué regla de puntuación se ajusta al objetivo de comparación y a los supuestos del proxy

El error cuadrático se mide en unidades de varianza al cuadrado y aumenta rápidamente cuando el proxy y el pronóstico están muy separados. Por eso, unos pocos valores muy altos del proxy pueden dominar el promedio. Ese comportamiento puede ser adecuado si los errores absolutos grandes en unidades de varianza deben tener mucho más peso, pero hace que el resultado sea sensible a valores extremos.

Multiplicar xₜ y hₜ por la misma constante positiva de conversión c añade log(c) a log(hₜ) + xₜ/hₜ. Ese término es común a todos los pronósticos evaluados sobre la misma muestra de proxies, por lo que el ranking no cambia; el valor absoluto del término logarítmico sí depende de la unidad elegida. QLIKE responde a la razón entre pronóstico y proxy mediante xₜ/hₜ y al nivel de hₜ mediante log(hₜ). Cuando el pronóstico es muy bajo en relación con un proxy grande, el término de la razón aumenta con rapidez. Sobrepredecir también cuesta más a medida que crece log(hₜ), pero más despacio para errores proporcionales comparables. QLIKE no es una pérdida resistente a valores atípicos: un proxy extremo también influye a través de xₜ/hₜ.

Ninguna pérdida gana en todas las decisiones. El error cuadrático da más peso a los errores absolutos grandes en unidades de varianza, mientras que QLIKE refleja de otra forma los errores relativos. El resultado de Patton sobre la robustez frente al ruido del proxy no implica que ambas pérdidas ordenen igual los modelos ni que alguna sea inmune a los valores atípicos

Supón que los proxies de varianza observados son x = [1, 4] bp². El modelo A pronostica hᴬ = [1, 1] bp² y el modelo B, hᴮ = [4, 2] bp². Las cifras son hipotéticas y sirven para mostrar cómo la pérdida puede cambiar el orden.

MSE favorece al modelo A: su puntuación media es 4,5 bp⁴ frente a 6,5 bp⁴ para B. QLIKE favorece al modelo B: su media es aproximadamente 2,165 frente a 2,5 para A. Estos dos periodos solo ilustran el cálculo. Son insuficientes para estimar la incertidumbre, demostrar que un pronóstico es mejor o afirmar nada sobre una estrategia de trading <!-- learn:illustration -->

Un proxy de volatilidad puede tener ruido y seguir siendo condicionalmente insesgado. Supongamos que E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, donde Fₜ₋₁ representa la información disponible cuando se elabora el pronóstico. La pérdida cuadrática esperada para un pronóstico hₜ basado en esa información es:

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

El término de varianza no depende del pronóstico evaluado. Por eso, añade la misma cantidad al MSE esperado de ambos pronósticos y se cancela al comparar las pérdidas esperadas. Para QLIKE, la insesgadez condicional implica:

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Esa es la puntuación que se obtendría usando la varianza latente en vez del proxy. En estas condiciones, cada pérdida conserva el rango esperado de los pronósticos de varianza competidores frente al objetivo latente. Patton (2011) llama a esto un rango robusto al proxy; se refiere al ruido en los rangos esperados, no a la resistencia a los valores atípicos.

El resultado supone la misma información condicional, un proxy condicionalmente insesgado, pronósticos positivos para QLIKE y pérdidas esperadas finitas. No significa que MSE y QLIKE ordenen igual los modelos. En el ejemplo de dos periodos, cada pérdida se calcula con las mismas observaciones ruidosas, pero asigna una importancia distinta a los errores de pronóstico

Que los rangos esperados se conserven no garantiza que toda muestra observada reproduzca el orden basado en la varianza latente. El ruido del proxy aumenta la variación de las pérdidas observadas y puede reducir la potencia de una comparación de pronósticos. Un periodo de evaluación corto puede cambiar el rango de los modelos simplemente porque algunos valores del proxy fueron inusualmente altos o bajos, aunque la insesgadez condicional se cumpla en promedio.

La garantía también falla si el proxy está condicionalmente sesgado para el objetivo definido. La varianza realizada de alta frecuencia puede verse afectada por el rebote entre precios de compra y venta, cotizaciones obsoletas o asíncronas, la frecuencia de muestreo y la omisión de rendimientos nocturnos. Un proxy del integrated variance intradía puede no ser una medida insesgada de la varianza condicional entre cierres. La guía de cálculo de volatilidad realizada explica decisiones de construcción, y la guía de varianza realizada en dos escalas describe un estimador diseñado para abordar parte del ruido de microestructura de los datos de alta frecuencia. Hansen y Lunde (2006) documentan cómo el ruido de microestructura de mercado puede afectar a la medición de la varianza realizada.

“Robusto” tiene aquí un significado acotado: si el proxy es condicionalmente insesgado, se conserva el rango esperado. No significa que la puntuación de la muestra ignore valores atípicos, que toda medida de volatilidad realizada sea insesgada ni que la comparación esté protegida frente a una discordancia del objetivo. Indica qué mide el proxy y qué supuestos lo relacionan con vₜ

Para dos pronósticos hᴬₜ y hᴮₜ fijados en el mismo origen, la diferencia esperada de MSE es E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². Bajo la misma condición del proxy, la diferencia esperada de QLIKE es log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Estas expresiones muestran qué elimina la robustez del ranking frente al proxy: el ruido adicional en su puntuación esperada. Aun así, las comparaciones de pronósticos siguen siendo distintas porque MSE y QLIKE asignan costes diferentes a los errores.

Una vez elegida la puntuación, calcula una diferencia de pérdidas emparejadas en cada origen de pronóstico común. Con dₜ = L_A,ₜ − L_B, una media positiva favorece a B porque tiene menor pérdida. Un test de Diebold–Mariano evalúa si la diferencia esperada es cero mediante la serie temporal de estas diferencias emparejadas; no elige entre QLIKE y MSE ni decide qué objetivo importa. La guía de Diebold–Mariano explica el marco de inferencia más amplio.

Si los pronósticos de horizontes de varios periodos se solapan o las diferencias de puntuación presentan autocorrelación por otros motivos, utiliza un error estándar que tenga en cuenta la dependencia, como una estimación HAC adecuada. Newey y West (1987) presentan un estimador HAC de covarianza semidefinido positivo. Indica el horizonte, los orígenes de evaluación, el signo de la diferencia de pérdidas, el método de covarianza y, cuando corresponda, el kernel y el ancho de banda. Un valor p pequeño no corrige un proxy sesgado o que no coincide con el objetivo

Usa un diseño cronológico fuera de muestra y guarda los pronósticos que cada modelo habría emitido en cada origen. Fija el objetivo, la construcción del proxy, el horizonte, la unidad, la muestra común y la pérdida antes de inspeccionar qué modelo obtiene mejor puntuación. Registra las ventanas de estimación, las reglas de reestimación, las observaciones ausentes y si se usó repetidamente el periodo de evaluación para ajustar modelos. Si comparas MSE y QLIKE, pero solo informas del ganador, declara esa selección en vez de presentarla como un único test preespecificado.

Informa de la pérdida media de cada modelo, la diferencia emparejada, el tamaño de muestra, la definición del proxy y el método de inferencia. QLIKE requiere hₜ > 0; si aplicas un límite inferior al pronóstico, fíjalo antes de la evaluación, pues puede cambiar las puntuaciones. Comprueba la sensibilidad ante opciones defendibles de proxy y muestreo, y aclara que probar muchas opciones también crea un problema de selección.

Una pérdida de volatilidad menor mide el rendimiento bajo la puntuación y el proxy elegidos. No demuestra que un predictor cause volatilidad, que los rendimientos sean normales ni que una estrategia basada en el pronóstico gane dinero después de spreads, comisiones, slippage, financiación y límites de riesgo. Evalúa la capacidad predictiva y los resultados de trading como afirmaciones separadas