실현 반분산: 상승·하락 변동을 나누어 측정하는 방법

하나의 고정된 구간에서 관측한 장중 로그수익률을 \(r_i\)라고 하면 실현분산은 수익률 제곱의 합 \(RV=\sum_i r_i^2\)입니다. 제곱을 하면 상승과 하락이 모두 양수로 계산되고, 큰 움직임에 더 큰 비중을 둡니다. 이 통계량은 구간 안에서 누적된 변동을 측정하지만, 그 변동이 상승과 하락 중 어디에서 왔는지는 보여주지 않습니다.

실현 반분산은 제곱하기 전에 수익률의 부호를 유지합니다. 양의 성분에는 0보다 큰 수익률의 제곱을, 음의 성분에는 0보다 작은 수익률의 제곱을 모읍니다. 두 성분은 같은 관측치와 정의를 쓰면 실현분산으로 돌아갑니다. 0인 수익률은 어느 쪽에도 값을 더하지 않습니다. 이 관계는 계산상 항등식이지, 두 성분이 각각 별개의 위험 원인이라는 증거는 아닙니다.

이 부호 분리는 방향별 변동에 관한 연구 질문에 유용합니다. 예를 들면 과거 하락 수익률의 변동이 과거 상승 수익률의 변동보다 미래 변동성에 더 많은 정보를 주는지 살펴볼 수 있습니다. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock, Shephard는 고빈도 하락 변동 측정치로 실현 반분산을 제안했습니다. 이들의 연구 초안은 이 통계량과 이차변동 및 음의 점프 사이의 관계를 설명합니다.

수익률 \(r_1,\ldots,r_n\)에 대해 다음과 같이 정의합니다.

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

여기서 \(\mathbf{1}(\cdot)\)은 조건이 참이면 1, 거짓이면 0입니다. 그러면

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

논문마다 기호나 위첨자가 다를 수 있으므로, 보고서에는 양의 수익률 성분과 음의 수익률 성분을 각각 무엇이라 부르는지 밝혀야 합니다. 위 식은 0을 기준으로 한 비중심 수익률을 사용합니다. 표본평균, 목표수익률 또는 무위험수익률을 빼지 않습니다. 목표값이나 평균을 기준으로 계산한 표본 반분산은 다른 통계량입니다.

단위는 수익률의 제곱입니다. 수익률을 bp로 표시하면 각 성분 단위는 bp²이고, 소수 로그수익률로 표시하면 소수 수익률 제곱입니다. 퍼센트 수익률을 bp로 바꾸면 제곱 통계량의 숫자는 10,000배가 됩니다. 수치와 단위를 함께 기록해야 하는 이유입니다.

한 가상의 거래 구간에 다음과 같은 여섯 개 bp 수익률이 있다고 하겠습니다.

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

양의 수익률 성분은 \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\)입니다. 음의 수익률 성분은 \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\)입니다. 0인 수익률은 어느 쪽에도 더해지지 않습니다. 따라서 실현분산은

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2 \]

입니다.

이 작은 예에서 음의 성분 비중은 \(21/34\), 약 61.8%이고 양의 성분은 약 38.2%입니다. 이는 만들어낸 수익률 합계에서 각 부분이 차지하는 비중이지, 미래 손실 확률이나 장기적으로 안정된 비대칭 추정치가 아닙니다. 수익률 여섯 개만으로 통계적 추론을 할 수 없습니다. 여기의 숫자는 정의와 산술을 확인하기 위한 예입니다.

실현변동성 계산 안내는 분해하지 않은 수익률 제곱의 합을 설명합니다. 이중승수 변동(bipower variation) 안내는 드문 점프가 있을 때 연속 변동을 추정하는 별개의 질문을 다룹니다. 방향별 반분산과 점프 강건 변동을 함께 연구할 수는 있지만, 어느 하나가 다른 하나를 대신하지 않습니다.

잠재 로그가격이 연속 준마팅게일을 따르고 관련 정칙 조건 아래 표본 간격을 계속 줄이면 양·음의 수익률 반분산은 각각 연속 경로 이차변동의 절반으로 수렴합니다. 이 조건에서는 기저 연속 변동에 지속적인 방향 분해가 없더라도 표본에서 계산한 두 합이 다를 수 있습니다. 표본추출의 무작위성도 작용합니다.

점프가 있으면 점프 제곱이 양의 점프인지 음의 점프인지에 따라 해당 성분으로 들어갑니다. 따라서 총 실현분산이 버리는 방향 정보를 일부 남길 수 있습니다. 그러나 음의 수익률이 모두 점프라는 뜻도 아니고, 양의 수익률이 모두 해롭지 않다는 뜻도 아닙니다. 큰 연속 움직임과 점프 모두 큰 제곱 수익률을 만들 수 있습니다. 부호는 관측된 수익률을 분류할 뿐 경제적 원인을 알려주지 않습니다.

아래 개념 그림은 양의 수익률 구간과 음의 수익률 구간을 시각적으로 나눕니다. 실제 자료의 그래프도 아니고 검정 결과도 아니며, 기초 과정에 지속적인 방향 편향이 있다는 주장도 아닙니다.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

실현 반분산을 미래 변동성을 설명하는 모형의 별도 예측변수로 사용할 수 있습니다. Patton과 Sheppard는 S&P 500 및 개별 주식 표본 분석에서 자신들의 표본과 모형에서 과거 음의 수익률 변동이 양의 수익률 변동보다 미래 변동성과 더 강하게 관련된다고 보고했습니다. 이는 해당 연구 설계에서 관찰한 경험적 결과이지, 모든 시장에 적용되는 법칙이나 새 전략의 예측 성능을 보장하는 주장이 아닙니다.

예측 주장을 하려면 예측 대상과 기간을 정하고 적절한 기준 모형과 비교해 표본 밖에서 평가해야 합니다. 하루의 \(RS^-\)와 \(RS^+\) 차이는 기술적 설명일 뿐 예측력을 입증하지 않습니다. 회귀식에서는 변동성 지속성, 기간이 겹치는 예측, 모수 불확실성, 데이터 선택도 고려해야 할 수 있습니다. 예측 오차는 실제 판단 목표에 맞는 손실함수로 평가합니다.

더 넓은 다변량 확장으로 Bollerslev, Li, Patton, Quaedvlieg는 짝을 이룬 고빈도 수익률의 부호에 따라 실현 공분산을 분해하는 실현 반공분산을 제안했습니다. 이들의 Econometrica 논문은 같은 부호와 혼합 부호 성분이 서로 다른 정보를 담을 수 있는 이유를 설명합니다. 단변량 양·음 분해는 더 단순하며, 전체 공분산 또는 포트폴리오 위험 분해라고 표현해서는 안 됩니다.

“하방 반분산”이라는 말은 여러 정의로 사용됩니다. 여기서 다루는 실현 측정치는 0보다 작은 고빈도 수익률을 제곱해 합합니다. 목표값 기반 하방 통계량은 목표수익률이나 최소 허용 수익률 아래의 값만 제곱합니다. 표본에서는 평균을 중심으로 계산하기도 합니다. 동일한 수익률 표본을 쓰더라도 기준과 식이 다르면 답하는 질문과 결과가 달라집니다.

두 실현 반분산은 VaR이나 Expected Shortfall도 아닙니다. VaR는 정한 손실분포와 기간에서의 분위수를 나타내고, Expected Shortfall은 정해진 기준을 초과하는 손실을 요약합니다. 음의 장중 수익률 제곱의 합은 어느 쪽도 아닙니다. 또한 수익률 순서와 경로에 좌우되는 최대낙폭을 완전히 측정하지도 않습니다.

차트나 모형에서 \(RS^-\)를 “하방 위험”이라고 부르면 바로 옆에 정의를 써야 합니다. 수익률이 0을 기준으로 하는지 목표값 기준인지, 어떤 표본 간격을 썼는지, 구간 통계량인지 예측 변수인지 포트폴리오 측정치인지를 밝힙니다. GARCH 변동성 안내는 조건부 분산의 동학을 설명하고, 실현 반분산은 방향별 고빈도 측정치로서 모형 입력 후보가 될 수 있습니다.

부호 분해는 관측된 수익률 수열에 따라 달라집니다. 표본을 더 촘촘하게 만들면 매수·매도 호가 왕복, 가격의 이산성, 오래된 호가, 시각표시 문제 등이 들어올 수 있습니다. 작은 기록 가격 변동은 가격 대용치나 표본 격자가 바뀌면 부호가 바뀔 수 있습니다. 미시구조 잡음은 제곱 크기뿐 아니라 어느 쪽 성분에 들어갈지도 바꿀 수 있습니다. 선택한 시계열에서 \(RV=RS^++RS^-\)가 성립한다는 사실이 표본설계의 타당성을 증명하지는 않습니다.

견고한 비교를 위해 가격 항목, 표본 간격, 장 시작·종료 경계, 0 수익률 처리, 이상치 규칙, 여러 자산의 수익률을 동기화했는지를 기록합니다. 방어 가능한 표본 선택을 두고 민감도를 확인합니다. 점프 식별이나 잡음 강건성이 핵심 질문이면 그 목표에 맞는 추정량 또는 검정을 써야 합니다. 수익률 부호 분해를 보정 방법처럼 해석해서는 안 됩니다. Two-scale 실현변동성 안내는 시장 잡음에 대한 한 가지 다른 보정 방법을 설명합니다.

통계적 추론에는 적절한 표본분포나 재표집 설계도 필요합니다. 양·음 성분은 같은 경로에서 만들어지므로 서로 의존할 수 있고, 기간이 겹치는 창은 추가 의존성을 만들 수 있습니다. 신뢰구간이나 예측 비교는 이런 특성을 반영해야 합니다. 점추정치 두 개만 비교해서 기초 예측 역할이 다르다고 검정할 수는 없습니다.

명확한 보고서는 자산 또는 포트폴리오 수익률, 관측 구간, 수익률 정의, 표본 격자와 단위를 명시합니다. \(RS^+\)와 \(RS^-\) 식을 적고 두 성분의 합이 실현분산으로 돌아가는지 확인하며, 0과 결측 관측을 어떻게 처리했는지 설명합니다. 예측 모형에 넣는다면 예측 기간, 기준 모형, 평가 구간, 손실함수도 공개합니다.

집계 가정을 밝히지 않은 채 실현 반분산을 연율화 변동성으로 바꾸지 마세요. 일별 반분산을 일정한 방식으로 합산해 연간 합계를 기술할 수는 있지만, 제곱근 값이 분포가 알려진 하방 표준편차와 자동으로 같아지는 것은 아닙니다. 연율화는 가격 입력의 편향, 성긴 표본, 선택 효과를 고치지 않습니다.

핵심은 측정 규칙을 지키는 일입니다. 관측 수익률의 방향을 보존하면서 실현변동의 제곱 가중을 적용합니다. 결과가 검증해 볼 만한 패턴을 드러낼 수는 있지만, 원인을 단독으로 찾아내거나 꼬리확률을 재거나 과거의 비대칭을 매매 신호로 바꾸어 주지는 않습니다.