Realized GARCH 설명: 수익률과 실현변동성을 함께 모형화하는 방법

ARCH와 GARCH 모형은 수익률의 흐름에서 변동성의 변화를 추정합니다. Engle은 ARCH를, Bollerslev는 그 일반화 모형인 GARCH를 제시했습니다(Engle, 1982, Bollerslev, 198690063-1)). 수익률 하나는 해당 구간의 움직임을 불완전하게 보여 줍니다. 종가 간 수익률이 작았다고 해서 장중에 조용했다고 할 수 없고, 큰 수익률 하나만으로는 그 움직임이 어떤 경로로 나타났는지 알 수 없습니다. 장중 가격으로 계산하는 실현분산 같은 별도 측정치는 세션 안의 움직임에 관한 정보를 더 담을 수 있습니다.

Realized GARCH는 그 측정치를 분산 동학에 포함합니다. 기본 형태에서는 과거 조건부분산과 실현변동성 측정치가 현재 조건부분산 갱신에 함께 쓰입니다. 또한 실현변동성 측정치 자체를 설명하는 방정식도 둡니다. 이 추가 방정식이 핵심입니다. 측정치를 설명되지 않은 외부 입력으로 남겨두지 않고 잠재분산과 수익률 충격의 관계를 모형화합니다.

원 논문은 다우존스 산업평균 구성 종목과 한 상장지수펀드 표본에서 일별 수익률만 쓰는 GARCH보다 경험적 적합도가 높았다고 보고합니다. 이는 해당 표본에서 얻은 결과이지 모든 자산과 기간에 더 나은 예측을 보장하지 않습니다. 수익률만 사용하는 기본 모형은 GARCH 안내서에서 볼 수 있습니다.

조건부 평균을 제거한 수익률을 rₜ라고 하겠습니다. hₜ는 기간이 시작될 때 이용할 수 있는 정보 Fₜ₋₁을 조건으로 한 rₜ의 조건부분산이고, xₜ는 기간 t 중이나 종료 시점에 관측하는 양의 실현변동성 측정치입니다. 예를 들어 xₜ는 장중 수익률 제곱의 합일 수 있으며, hₜ와 같은 수익률 제곱 단위로 표현해야 합니다.

시간 순서를 맞추는 것이 중요합니다. hₜ 예측치는 기간 t가 시작되기 전에 이용할 수 있는 정보로 만듭니다. rₜ와 xₜ를 관측한 뒤 다음 조건부분산 hₜ₊₁을 갱신합니다. xₜ를 사용하면서 기간 t가 시작되기 전에 hₜ를 예측했다고 주장해서는 안 됩니다.

Realized GARCH는 수익률과 변동성 대리변수의 동학을 함께 다루는 모형입니다. 서로 다른 빈도의 자료를 구조화된 시차 가중치로 연결하는 MIDAS 회귀와는 같은 모형이 아닙니다. 둘 다 장중 정보를 쓸 수 있지만, 비교 전 방정식과 예측 목표, 정보 시점을 확인해야 합니다.

일반적인 Realized GARCH(1,1) 로그 선형식은 수익률 방정식, 분산 방정식, 측정 방정식으로 구성됩니다.

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

여기서 zₜ는 표준화된 수익률 혁신, uₜ는 측정 오차이며, τ(zₜ)는 관측 측정치가 수익률 충격에 의존하도록 합니다. 첫 번째 방정식은 단위분산 충격에 조건부 표준편차를 곱합니다. 두 번째 방정식은 과거 로그분산과 과거 로그 실현변동성 측정치로 현재 로그분산을 갱신합니다. 세 번째 방정식은 관측된 로그 측정치를 현재 잠재 로그분산, 수익률 충격, 측정 혁신과 연결합니다.

로그식은 양수인 hₜ와 xₜ를 제한 없는 로그 척도에서 나타낼 수 있어 편리합니다. 계산한 로그분산을 지수화하면 양의 분산 예측치를 얻습니다. 따라서 ω는 로그분산 방정식의 절편이지 장기분산 그 자체가 아닙니다. 기본 모형의 계수는 각각 따로 읽기보다 함께 추정해야 합니다.

(t−1)의 측정 방정식을 분산 갱신식에 대입하면 실현변동성 측정치가 로그분산에 되먹임되는 과정을 볼 수 있습니다.

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

이 (1,1) 명세에서 로그분산의 지속성을 요약하는 계수는 β 하나가 아니라 β + γφ입니다. 이전 조건부분산이 높을수록 측정 방정식이 예측하는 실현변동성 측정치도 높아지고, 그 값이 다음 분산 갱신에 다시 들어가기 때문입니다. 이 대수적 전개는 추정 계수의 역할을 해석하는 데 도움이 되지만, 모든 Realized GARCH 확장 모형의 정상성을 증명하지는 않습니다. 실제로 추정한 명세에 맞는 제약과 추론 조건을 따로 확인해야 합니다.

Hansen, Huang, Shek은 결합 모형의 선형식과 로그 선형식을 제시하고 세 방정식 구조를 설명합니다(2012). 실제 추정에서는 정확한 시차 차수, 실현변동성 측정치, 조건부 평균 설정, 혁신항 가정을 해당 모형 명세에서 확인해야 합니다.

측정 방정식은 실현변동성 측정치가 잠재분산과 수익률 충격 모두에 따라 움직일 수 있는 이유를 설명합니다. 흔히 쓰는 레버리지 함수는 다음과 같습니다.

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

선형 항과 중심화한 이차 항으로 수익률 충격과 실현변동성 측정치 사이의 비대칭 관계를 나타낼 수 있습니다. 관계의 모양은 계수에 달려 있습니다. 이 식만으로 음의 수익률이 미래 변동성을 일으킨다고 결론 내릴 수는 없습니다.

원 논문의 기본 설정에서는 zₜ와 uₜ를 별도의 혁신항으로 모형화합니다. zₜ는 표준화하고 두 혁신항은 서로 독립이라고 가정합니다. 이는 계산과 추정을 위한 통계적 명세이며, 모든 표본의 시장 수익률이나 측정 오차가 특정 분포를 따른다는 증거는 아닙니다. 정규성을 사실로 단정하지 않고 가우스 준우도를 추정에 사용할 수도 있습니다.

이 방정식은 Realized GARCH와 GARCH-X도 구별합니다. GARCH-X는 관측 측정치를 분산 갱신식에 넣더라도 측정치의 동학은 설명하지 않을 수 있습니다. Realized GARCH는 실현변동성 측정치도 모형화하므로 미래 측정치가 아직 관측되지 않은 다기간 예측에 쓸 수 있습니다. 이는 결합된 통계적 관계를 설명하는 것이지, 실현변동성 측정치를 외부 원인으로 바꾸는 것이 아닙니다.

추정된 로그 선형 모형의 계수가 ω = −0.7824, β = 0.75, γ = 0.15라고 하겠습니다. 기간 t가 끝났을 때 현재 조건부분산이 hₜ = 0.0004, 관측된 실현변동성 측정치가 xₜ = 0.0009라고 가정합니다. 모두 같은 일별 소수 수익률 분산 단위로 표현한 가상 양수입니다.

분산식으로 다음 기간 (t+1)의 예측치를 계산합니다.

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

이에 대응하는 조건부 표준편차는 √0.0004517 ≈ 0.02125, 즉 해당 수익률 기간 기준 약 2.13%입니다. 실현변동성 측정치는 추정된 계수를 통해 다음 기간 분산 예측치에 반영됩니다. 이 계산은 계수를 새로 추정하지 않으며, 측정 방정식으로 xₜ = hₜ라고 주장하는 것도 아닙니다.

이 예시는 계산만 보여 줍니다. 계수 추정의 불확실성, 표본 밖 관측치가 없으므로 통계적 유의성이나 기준 모형 대비 성능을 말해 주지 않습니다 <!-- learn:illustration -->

추정할 때는 시점이 맞는 수익률과 실현변동성 측정치를 사용합니다. 우도나 준우도는 수익률 방정식과 측정 방정식을 함께 반영합니다. 따라서 혁신항의 분포나 의존성 구조에 관한 가정을 바꾸면 추정 계수도 달라질 수 있습니다. 추정 재귀식만 제시하지 말고 추정 방법, 혁신항 가정, 조건부 평균 처리, 실현변동성 측정치, 데이터 정제 기준을 함께 밝혀야 합니다.

기간이 끝난 뒤 새 수익률과 실현변동성 측정치를 이용해 모형 상태를 갱신하고 다음 분산을 예측할 수 있습니다. 여러 기간 앞을 예측할 때 미래의 xₜ는 아직 알 수 없습니다. 완결된 Realized GARCH 명세에는 실현변동성 측정치의 동학이 포함되므로, 미래 측정치를 검증 표본에서 가져오는 대신 그 미래 분포나 기대값을 반영해야 합니다.

평가 목표는 예측치와 맞아야 합니다. 예를 들어 다음 기간 조건부분산을 예측했다면 같은 구간의 수익률 분산 또는 실현변동성 측정치를 평가에 사용해야 합니다. 목표, 대리변수, 단위, 예측 기간, 평가 날짜를 맞춥니다. 표본 안 우도는 모형이 자료에 얼마나 적합한지 비교하지만, 시간 순서를 지킨 예측 평가를 대신하지 않습니다.

각 예측 시점에 실제 이용 가능했을 예측치를 저장하고, 그 시점까지의 정보만으로 다시 추정해 사전에 정한 기준 모형과 공통 표본에서 비교합니다. 결과를 본 뒤 손실함수를 선택하지 말고, 필요하면 시계열 의존성을 고려한 불확실성 추정과 짝지은 손실 차이를 보고합니다. 분산 예측의 대리변수 특성과 손실함수가 비교에 미치는 영향은 QLIKE와 제곱오차 안내서에서 설명합니다.

모형의 유용성은 입력하는 측정치와 시간 구간에 달려 있습니다. 장중 가격으로 만든 실현변동성 측정치가 야간 움직임을 포함하지 않으면서 rₜ는 종가 간 수익률을 나타낼 수 있습니다. 원 논문은 수익률 구간보다 짧은 구간에서 계산한 측정치도 허용하며 측정 방정식이 xₜ를 hₜ의 불편 추정치라고 강제하지 않습니다. 그렇다고 구간 불일치가 무해한 것은 아닙니다. φ의 해석, 예측 목표, 성능 비교는 각 구간에 따라 달라집니다.

원 논문은 약 6.5시간의 거래 시간으로 만든 측정치와 24시간 종가 간 수익률의 조건부분산을 짝짓는 예를 듭니다. 이 경우 장중 측정치가 전체 수익률 구간의 일부만 담으므로 저자들은 φ < 1일 것으로 예상합니다. 따라서 추정된 φ는 측정치, 거래 세션, 수익률 정의에 따라 해석해야 합니다. 이를 다른 자산이나 표본추출 설계에 그대로 옮겨 쓸 수 있는 보편적 보정계수로 보면 안 됩니다.

고빈도 자료에는 호가 간격, 비동기 거래, 가격 단위의 제약, 오래된 호가, 기록 오류가 섞일 수 있습니다. 2척도 실현변동성 안내서는 고빈도 시장미시구조 잡음의 일부를 다루도록 설계된 추정량 하나를 설명합니다. Hansen과 Lunde는 시장미시구조 잡음이 실현분산 측정에 큰 영향을 줄 수 있음을 보였습니다(2006). 다른 대리변수를 쓰면 적합도, 예측치, 레버리지 추정이 달라질 수 있습니다.

로그 선형식에는 log xₜ가 들어가므로 선택한 측정치는 반드시 양수여야 합니다. 자료에 0이나 음수가 있을 수 있다면 로그 모형에 바로 넣을 수 없습니다. 변환, 필터, 하한을 적용한다면 모형과 결과가 달라지므로 근거를 대고 공개해야 합니다. 실현변동성 측정치에 점프가 포함되는지, 어느 거래 세션을 다루는지, 누락된 장중 자료를 어떻게 처리하는지, 수익률 분산과 단위가 맞는지 확인합니다. 장중 관측치가 많다고 측정 오차가 자동으로 사라지지는 않습니다.

일반 GARCH는 과거 수익률 또는 제곱 혁신항과 과거 분산을 사용합니다. Realized GARCH는 실현변동성 측정치를 분산 동학에 추가하고, 그 측정치를 잠재분산 및 수익률 충격과 연결하는 방정식으로 모형화합니다. GARCH-X는 보통 추가 측정치를 외부 입력으로 취급합니다. MIDAS 회귀는 서로 다른 빈도의 시차에 모수화한 가중치를 적용하며, GARCH-MIDAS는 관련된 혼합 구조로 방정식을 별도로 살펴봐야 합니다. 이름이 비슷해도 같은 모형은 아닙니다.

이 모형은 가정 아래 정의한 조건부분산이나 실현변동성 측정치를 예측합니다. 수익률 방향을 예측하거나 장중 측정치가 다음 날 분산을 일으킨다고 증명하지 않으며, 수익성 있는 전략도 보장하지 않습니다. 표본 안 우도가 높아도 미래 예측이 더 낫다는 뜻은 아닙니다. 거래에 관한 결론은 별도 신호를 명시하고 스프레드, 수수료, 시장 충격, 금융비용, 위험 한도를 포함해 비용 차감 후 평가해야 합니다.

재현 가능한 보고서에는 자산과 표본, 수익률 정의와 조건부 평균, 실현변동성 측정치의 구성과 세션 구간, 모형 방정식과 시차, 혁신항 가정, 추정창, 예측 시점과 기간, 기준 모형, 평가 손실함수, 불확실성 추정법을 적습니다. 타당한 대체 실현변동성 측정치에도 결과가 민감한지 확인하고, 데이터 제외나 양수 하한 처리도 밝혀야 합니다