HAR-RV 변동성 예측 모형: 일간·주간·월간 성분 설명

실현변동성 이분자기회귀 모형은 보통 HAR-RV라고 부릅니다. 과거 실현변동성 측정치를 여러 기간으로 요약해 미래의 실현변동성 측정치를 예측하는 모형입니다. 대표적인 일간 명세는 완료된 하루의 값, 최근 5거래일 평균, 최근 22거래일 평균을 사용합니다. 이 값들은 회귀식의 입력이며, 다음 거래일을 목표로 삼은 HAR-RV 예측은 여전히 다음 거래일 예측입니다.

HAR-RV는 실현변동성의 지속성을 투명하게 설명하는 기준 모형으로 유용합니다. 더 긴 시차마다 별도의 계수를 두는 대신 몇 개의 집계값을 더하므로 선형회귀로 추정하기 쉽고, 과거 수익률에서 조건부분산을 갱신하는 GARCH 모형과 비교하기도 쉽습니다. HAR-RV는 예측 명세이지 언제 거래를 시작할지, 포지션을 얼마나 크게 잡을지, 어떤 자산이 매력적인지를 알려 주는 규칙이 아닙니다.

Corsi의 원 논문은 서로 다른 시간 척도의 변동성 성분을 더하는 계단식 구조로 이 모형을 소개합니다. 서로 다른 시간 지평에서 활동하는 시장 참여자에 관한 가설이 동기가 되었지만, 회귀식이 개별 투자자를 식별하거나 특정 집단이 관찰된 지속성을 일으켰다고 증명하는 것은 아닙니다. 일간·주간·월간 항은 과거 변동성을 통계적으로 요약한 값으로 해석해야 합니다.

완료된 세션 \(t\)의 실현분산은 장중 수익률의 제곱을 더해 계산할 수 있습니다.

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

여기서 \(r_{t,i}\)는 세션 안의 \(i\)번째 구간 수익률이고, \(M\)은 계산에 포함한 구간의 수입니다. 이 합은 수익률의 제곱 단위입니다. 이 글은 모든 HAR 항과 예측 예시에서 이 척도의 실현분산을 의도적으로 사용합니다. Corsi(2009)의 원래 HAR-RV는 대신 제곱근 척도의 실현변동성 측정치를 사용합니다. 두 척도는 서로 연결되지만 하나의 회귀식에서 섞을 수 없습니다. 일간·주간·월간 항과 예측 목표를 모두 같은 척도로 유지하세요. 실현변동성 계산 안내서에서 이 측정치의 구성 선택을 더 살펴볼 수 있습니다.

표본 간격, 가격 출처, 시장 세션, 장 마감 이후 수익률의 처리 방식은 \(RV_t\)가 무엇을 측정하는지 결정합니다. 예를 들어 정규장 중 장중 수익률만 더하면 종가에서 다음 시가까지의 움직임이 자동으로 포함되지 않습니다. 장중 표본은 호가 잡음과 다른 미시구조 특성의 영향을 받을 수도 있습니다. Hansen과 Lunde(2006)는 시장 미시구조 잡음이 실현분산 측정에 미치는 영향을 연구했습니다. Andersen, Bollerslev, Diebold, Labys는 고빈도 관측치와 실현변동성, 더 낮은 빈도의 수익률 변동 사이의 관계를 다룹니다. 그 체계가 서로 다른 표본 규칙을 모두 같은 측정치로 만들어 주는 것은 아닙니다.

과거 자료, 설명변수, 예측 대상에는 일관된 정의를 사용하세요. 5분 수익률을 1분 수익률로 바꾸거나 정규장 구간을 종가 간 구간으로 바꾸면 결과 시계열이 달라질 수 있습니다. 이는 표기상의 차이에 그치지 않습니다. 추정 계수와 평가 대상인 예측값까지 달라질 수 있습니다.

일간 측정치를 \(RV_t^{(d)}=RV_t\)라고 하겠습니다. 완료된 최근 5개 일간 관측치의 평균을 주간 성분으로, 최근 22개의 평균을 월간 성분으로 두는 방식이 흔합니다.

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

나누기 5와 22를 적용하면 각 구간의 일평균 실현분산이 됩니다. 반대로 합을 쓰면 구간 전체의 누적 실현분산이 됩니다. 별도로 정의한 모형에서는 어느 쪽이든 쓸 수 있지만, 공식과 예측 대상, 단위가 서로 맞아야 합니다.

세 창은 서로 겹칩니다. 가장 최근 일간 관측치는 주간과 월간 평균에도 들어가고, 주간에 포함된 관측치는 월간 창에도 들어갑니다. 따라서 이 설명변수들은 과거 중 같은 일부를 서로 다른 길이로 요약합니다. 이름이 다르다고 서로 독립적인 측정치가 되는 것은 아닙니다. 창이 겹친다는 점도 세 계수를 서로 분리된 인과효과로 해석하지 말아야 하는 이유입니다.

통상 5개와 22개는 달력상의 주와 달이 아니라 거래 세션을 뜻합니다. 시장 휴일, 빠진 거래일, 선물의 거래 달력이 다른 경우에는 처리 규칙을 명시해야 합니다. 자산별 추정치를 비교하기 전에 관측 달력과 불완전한 창을 다루는 방법을 기록하세요.

기본적인 일간 1단계 HAR-RV 회귀식은 다음과 같습니다.

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

왼쪽의 \(RV_{t+1}^{(d)}\)는 다음에 완료될 세션의 실현분산입니다. 예측변수는 모두 세션 \(t\)가 끝날 때까지 알 수 있습니다. 절편 \(\beta_0\)와 계수 \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\)는 과거 관측치로 추정하고, \(\varepsilon_{t+1}\)은 설명변수로 설명되지 않는 회귀 오차입니다.

일반최소제곱법으로 적합하면 정의된 목표에 대한 표본 내 예측오차 제곱합을 최소화하는 계수를 찾습니다. 모든 일간 시차마다 별도의 계수를 추정하지 않고도 간결한 선형 기준 모형을 구성할 수 있습니다. Corsi(2009)는 HAR-RV 구조를 제시하고 해당 자료와 명세에 대한 예측 결과를 보고합니다. 그 결과가 다른 자산, 기간, 실현변동성 측정치에도 같은 계수나 정확도를 보장하지는 않습니다.

논문마다 기호와 명세가 조금씩 다릅니다. 로그값을 쓰거나, 다른 실현변동성 추정량을 사용하거나, 시차나 기간 창을 추가하는 HAR 변형도 있습니다. “HAR”라는 이름이 들어간 모든 모형이 같은 방정식이라고 가정하지 말고, 어떤 목표와 변환을 썼는지 밝혀야 합니다.

계수를 추정한 뒤에는 가장 최근의 일간·주간·월간 값들을 대입해 다음 세션의 점예측을 계산합니다. 예측 시점에는 미래 회귀오차를 알 수 없으므로 다음 예측식에서는 제외합니다.

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

계산 예시로 추정된 절편을 \(0.10\ \mathrm{bp}^2\), 세 계수를 각각 \(0.50\), \(0.30\), \(0.15\)라고 하겠습니다. 가장 최근의 일간 측정치가 \(4\ \mathrm{bp}^2\), 5일 평균이 \(3\ \mathrm{bp}^2\), 22일 평균이 \(2\ \mathrm{bp}^2\)라면 다음과 같습니다.

\[ 0.10 + 0.50(4) + 0.30(3) + 0.15(2) = 3.30\ \mathrm{bp}^2 \]

이 값과 계수는 설명을 위해 만든 가상의 산술 예시이며, 실제 시장 자료나 추정 결과, 성능 주장이 아닙니다. 명시한 목표와 단위에 따른 다음 세션의 예측입니다. 제곱근을 취하면 같은 세션에 대한 bp 단위 변동성이 되며, 연율화에는 별도의 명시적 관례가 필요합니다.

한 주나 한 달 전체를 예측하려면 다음 날 예측에 기간 이름만 바꾸면 안 됩니다. 미래 주간의 누적 또는 평균 실현분산을 왼쪽 항으로 두는 직접 모형을 추정하거나, 1단계 예측을 반복할 수 있습니다. 후자를 택하면 미래의 일간·주간·월간 입력을 어떤 규칙으로 갱신할지 정해야 합니다. 예측 점수를 계산하기 전에 목표 기간부터 고정하세요. <!-- learn:illustration -->

변동성은 여러 시차에 걸쳐 지속성을 보이는 경우가 많습니다. 긴 자기회귀 모형으로 그 의존성을 표현할 수 있지만 계수가 많이 필요합니다. HAR-RV는 몇 개의 겹치는 평균으로 과거를 압축해 적은 계수로 장기기억과 닮은 경험적 패턴을 재현할 수 있습니다.

여기서 “근사”라는 말은 중요합니다. Corsi 논문은 시뮬레이션으로 장기기억 금융수익률과 관련된 특징을 재현할 수 있음을 보이면서도 HAR-RV 자체에는 진정한 장기기억 성질이 없다고 명시합니다. 따라서 HAR-RV는 일부 패턴을 실용적으로 근사하는 모형이지, 자료에서 의존성이 천천히 약해진다는 이유만으로 분수 차분 모형이 되는 것은 아닙니다.

일간·주간·월간 성분도 해당 기간에 거래하는 투자자에 관한 직접적인 조사 결과는 아닙니다. 서로 다른 투자 지평에 관한 가설이 계단식 구조의 동기를 제공하지만, 추정된 회귀식은 투자자 유형이나 의도를 따로 식별하지 않고 관측된 지속성의 인과 메커니즘을 확정하지도 않습니다. 입력과 예측 행동을 중심으로 해석해야 합니다.

큰 가격 점프에는 총실현분산 하나만으로는 드러나지 않는 미래 변동성 정보가 들어 있을 수 있습니다. Corsi, Pirino, Reno(2010)는 임계 이중분산 방법으로 연속 성분과 불연속 성분을 분리하고, 이를 변동성 예측에 사용하는 방법을 연구했습니다. 특히 점프 이후에 보고된 예측 개선은 그 논문의 추정량, 자료, 경험적 설계에 해당합니다.

점프를 반영하는 HAR 명세는 연속 성분과 점프 관련 측정치 또는 그 시차 집계를 별도로 포함할 수 있습니다. 그러면 점프를 어떻게 탐지하는지, 연속 성분을 어떻게 추정하는지, 점프 측정치를 예측 시점에 이용할 수 있는지 같은 선택이 추가됩니다. “연속”과 “점프”는 모형 아래에서 추정량이 나눈 성분을 가리키며, 오차가 전혀 없는 분해라는 뜻은 아닙니다.

설명변수가 늘면 어떤 표본에서는 예측이 개선되고 다른 표본에서는 추정 잡음이 커질 수 있습니다. 점프 확장을 기본 HAR-RV와 비교할 때는 동일한 예측 시점, 목표 기간, 목표 측정치, 정보 집합을 사용하세요. 점프가 언제나 변동성 상승을 예측한다거나 해당 확장이 모든 시장에서 더 우수하다고 추론해서는 안 됩니다.

HAR-RV 계수는 추정에 사용한 실현변동성 시계열에 따라 달라집니다. 표본 간격, 거래 세션 경계, 가격 정제, 누락 관측치 처리가 시계열을 바꿀 수 있습니다. 주간과 월간 설명변수는 측정된 일간 값의 평균이므로 이 선택을 그대로 이어받습니다.

예측 시점과 목표 구간을 구분하세요. 세션 마감에 예측하는 모형이라면 다음 세션 목표도 과거 목표와 동일한 자산, 수익률 관례, 세션 범위, 단위를 사용해야 합니다. 측정치에 야간 수익률이 빠져 있다면 조정 없이 완전한 종가 간 분산이라고 표현하지 마세요. 달력 기간, 겹치는 다일 수익률 구간, 휴일 규칙이 다르다면 각각의 정의가 필요합니다.

HAR-RV를 다른 모형과 비교할 때도 같은 문제가 있습니다. GARCH 안내서의 일간 조건부분산 예측과 HAR-RV의 실현분산 예측은 목표 구간과 단위를 맞춘 뒤에야 비교할 수 있습니다. MIDAS 회귀는 서로 다른 빈도의 관측치를 연결하는 다른 방식입니다. MIDAS를 쓰더라도 각 예측 시점에 어떤 정보를 이용했는지는 따로 정해야 합니다.

실현분산은 음수가 아니지만 제약 없는 선형회귀는 계수나 예측값을 음수가 아니도록 제한하지 않습니다. 일반최소제곱 적합에서 일부 표본 밖 예측값이 음수가 될 수 있습니다. 로그 명세나 제약 추정은 다른 방식으로 양수 예측을 만들 수 있지만, 모형과 계수 해석을 바꿉니다. 예측 하한을 쓰는 것도 모형 선택입니다. 어떤 모형이 더 좋아 보이는지 확인한 뒤 하한을 정하지 말고 사전에 규칙을 정하세요.

추정 표본 밖에서 예측을 평가하고 각 시점에 실제로 이용할 수 있었던 예측값을 저장하세요. 대리변수, 예측 목표, 기간, 세션 범위, 단위, 공통 평가 날짜를 맞춥니다. 모형을 어떻게 다시 추정하고 갱신했는지도 보고하고 기준 모형과 비교하세요. 실현변동성 측정치가 불완전한 대리변수라면 기대 순위 결과는 목표와의 관계 및 손실함수에 달려 있습니다. Patton(2011)은 대리변수 잡음이 있다고 해서 모든 비교가 자동으로 신뢰할 수 있는 것은 아님을 설명합니다. QLIKE와 제곱오차 안내서에서 관련 평가 가정을 자세히 다룹니다.

예측 손실이 낮다는 것은 선택한 목표와 대리변수, 표본, 손실함수에서 점수가 더 좋았다는 뜻입니다. 모형이 변동성을 일으킨다는 뜻도, 일간 예측값이 매매 신호라는 뜻도, 실행비용과 위험 제약을 고려한 전략이 수익을 낸다는 뜻도 아닙니다.