Realized GARCH: modellare insieme rendimenti e misure di volatilità realizzata

I modelli ARCH e GARCH deducono l'evoluzione della varianza da una sequenza di rendimenti. Engle introdusse ARCH e Bollerslev ne sviluppò la forma generalizzata (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Un singolo rendimento è un segnale rumoroso dell'entità dei movimenti nel periodo: un rendimento ridotto tra due chiusure non significa che la seduta sia stata tranquilla, mentre un rendimento ampio non rivela il percorso che l'ha prodotto. I prezzi intraday possono fornire una misura realizzata distinta, come la varianza realizzata, con più informazioni sui movimenti durante la seduta.

Realized GARCH include questa misura nella dinamica della varianza. Nella specificazione di base, la varianza condizionale e la misura realizzata del periodo precedente contribuiscono entrambe all'aggiornamento della varianza condizionale corrente. Il modello include anche un'equazione per la misura realizzata stessa. È un passaggio centrale: descrive il rapporto della misura con la varianza latente e lo shock dei rendimenti, invece di trattarla come un input esterno senza spiegazione.

L'articolo originale riporta un adattamento empirico migliore rispetto a GARCH basato solo sui rendimenti giornalieri nel campione di titoli del Dow Jones e di un fondo negoziato in borsa. È un risultato specifico di quel campione, non una garanzia di previsioni migliori per ogni attività o periodo. Per il modello di base basato soltanto sui rendimenti, consulta la guida a GARCH.

Indichiamo con \(r_t\) il rendimento del periodo \(t\), al netto della media condizionale se il modello la include. Sia \(h_t = \operatorname{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1})\) la varianza condizionale nota all'inizio di quel periodo e sia \(x_t\) una misura realizzata positiva, osservata durante o alla fine del periodo \(t\). Per esempio, \(x_t\) può essere la somma dei rendimenti intraday al quadrato, espressa nelle stesse unità di rendimento al quadrato di \(h_t\).

La sequenza temporale conta. La previsione di \(h_t\) usa informazioni disponibili prima del periodo \(t\); dopo aver osservato \(r_t\) e \(x_t\), il modello aggiorna la previsione della varianza successiva, \(h_{t+1}\). Non usare \(x_t\) per sostenere che la previsione di \(h_t\) fosse disponibile prima che si svolgesse il periodo \(t\).

Realized GARCH modella congiuntamente la dinamica dei rendimenti e di un proxy di volatilità misurato. Non coincide con la regressione MIDAS, che usa una funzione strutturata dei pesi dei ritardi per collegare dati a frequenze diverse. Entrambi gli approcci possono sfruttare informazioni intraday, ma prima di confrontarli occorre identificare equazioni, obiettivo della previsione e tempistica.

Una specificazione comune Realized GARCH\(1,1\) comprende un'equazione dei rendimenti, una della varianza e una di misurazione:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Qui \(z_t\) è l'innovazione standardizzata dei rendimenti, \(u_t\) è l'errore di misurazione e \(\tau(z_t)\) permette alla misura osservata di dipendere dallo shock dei rendimenti. La prima equazione moltiplica uno shock a varianza unitaria per la deviazione standard condizionale. La seconda aggiorna il logaritmo della varianza usando i logaritmi della varianza e della misura realizzata precedenti. La terza collega il logaritmo della misura osservata al logaritmo della varianza latente corrente, allo shock dei rendimenti e a un'innovazione di misurazione.

La forma logaritmica è pratica perché rappresenta valori positivi di \(h_t\) e \(x_t\) su una scala senza vincoli; esponenziare la previsione di varianza restituisce un valore positivo. L'intercetta \(\omega\) è quindi un'intercetta della log-varianza, non la varianza di lungo periodo. Nel modello di base i parametri sono stimati congiuntamente, non interpretati isolatamente come misure di persistenza.

Sostituendo l'equazione di misurazione al tempo \(t−1\) nell'aggiornamento della varianza, si vede come la misura realizzata retroagisce sulla log-varianza:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

Per questa specificazione \(1,1\), la persistenza della log-varianza è riassunta da \(β + γφ\), non da \(β\) da solo. La relazione di misurazione contribuisce al feedback perché una varianza precedente più alta è associata a una misura realizzata più alta, che entra poi nell'aggiornamento successivo. Questa algebra aiuta a interpretare i coefficienti stimati, ma non dimostra la stazionarietà di ogni estensione di Realized GARCH; l'inferenza deve seguire i vincoli della specificazione effettivamente stimata.

Hansen, Huang e Shek introducono le forme lineare e log-lineare del modello congiunto e presentano la struttura a tre equazioni (2012). Ordini dei ritardi, misura realizzata, media condizionale e ipotesi sulle innovazioni devono corrispondere alla specificazione effettivamente stimata.

L'equazione di misurazione aiuta a spiegare perché la misura realizzata possa variare sia con la varianza latente sia con lo shock dei rendimenti. Una funzione di leverage comune è

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

I termini lineare e quadratico centrato possono rappresentare un'associazione asimmetrica tra shock dei rendimenti e misura realizzata. La forma dipende dai coefficienti; la formula da sola non dimostra che rendimenti negativi causino volatilità futura.

Nella formulazione di base dell'articolo, \(z_t\) e \(u_t\) sono innovazioni distinte; \(z_t\) è standardizzata e le due innovazioni sono assunte mutuamente indipendenti. È una specificazione statistica trattabile, non una prova che rendimenti di mercato o errori di misurazione seguano una particolare distribuzione in ogni campione. Per la stima si può usare una quasi-verosimiglianza gaussiana senza affermare che la normalità sia un fatto.

Questa equazione distingue inoltre Realized GARCH da GARCH-X. GARCH-X può inserire una misura osservata nell'aggiornamento della varianza senza specificarne la dinamica. Realized GARCH modella anche la misura realizzata e può quindi sostenere previsioni oltre un passo, quando le misure future non sono ancora osservate. Il modello descrive una relazione statistica congiunta: non trasforma la misura realizzata in una causa esterna.

Supponiamo che un modello log-lineare stimato abbia \(ω=-0.7824\), \(\beta=0.75\) e \(\gamma=0.15\). Alla fine del periodo \(t\), la varianza condizionale corrente è \(h_t=0.0004\) e la misura realizzata osservata è \(x_t=0.0009\). Tutti i valori sono ipotetici, positivi ed espressi nella stessa scala giornaliera della varianza dei rendimenti decimali.

Usa l'equazione della varianza per aggiornare la previsione del periodo \(t+1\):

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

La deviazione standard condizionale implicita è \(\sqrt{0.0004517} \approx 0.02125\), cioè circa il 2,13% per il periodo di rendimento indicato. La misura realizzata incide sulla previsione successiva attraverso il coefficiente stimato; il calcolo non aggiorna i coefficienti e non usa l'equazione di misurazione per affermare che \(x_t\) sia uguale a \(h_t\).

L'esempio illustra soltanto l'aritmetica. Non include incertezza dei parametri, errore di stima o osservazioni fuori campione, quindi non dice nulla sulla significatività statistica o sulla superiorità del modello rispetto a un benchmark. <!-- learn:illustration -->

La stima usa osservazioni di rendimenti e misure realizzate allineate nel tempo. Una verosimiglianza o quasi-verosimiglianza combina l'equazione dei rendimenti con quella di misurazione, perciò cambiare ipotesi sulle distribuzioni o sulla dipendenza delle innovazioni può cambiare i parametri stimati. Indica metodo di stima, ipotesi sulle innovazioni, trattamento della media condizionale, misura realizzata e regole di pulizia dei dati; non presentare la ricorsione stimata senza il modello di misurazione.

Dopo la chiusura di ogni periodo, il modello può usare i nuovi rendimenti e la nuova misura realizzata per aggiornare lo stato e produrre la previsione di varianza successiva. Per una previsione a più passi, i valori futuri di \(x\) sono sconosciuti. Una specificazione Realized GARCH completa comprende la dinamica della misura realizzata; la previsione deve quindi tenere conto della sua distribuzione o del suo valore atteso futuro, invece di inserire valori futuri osservati nel campione di test.

La valutazione richiede un obiettivo coerente con la previsione, per esempio la varianza condizionale dei rendimenti del periodo successivo o una misura realizzata sullo stesso intervallo. Allinea obiettivo, proxy, unità, orizzonte e date di valutazione. La verosimiglianza nel campione confronta l'adattamento dei modelli, ma non sostituisce una verifica cronologica delle previsioni.

Salva ogni previsione nel momento in cui sarebbe stata disponibile, ristima usando solo le informazioni disponibili a quell'origine e confrontala con un benchmark scelto in anticipo su un campione comune. Scegli la funzione di perdita prima di esaminare i risultati e riporta la differenza appaiata delle perdite con una stima dell'incertezza che tenga conto della dipendenza, quando necessario. La guida su QLIKE ed errore quadratico spiega come le proprietà del proxy e la scelta della perdita influenzano il confronto.

L'utilità del modello dipende dalla misura e dall'intervallo temporale usati. Una misura realizzata costruita con prezzi intraday può omettere i movimenti notturni anche quando \(r_t\) è un rendimento tra chiusure. L'articolo originale ammette esplicitamente una finestra della misura più breve dell'intervallo del rendimento; l'equazione di misurazione non deve imporre che \(x_t\) sia una stima non distorta di \(h_t\). Questa flessibilità non rende innocua la differenza tra finestre: interpretazione di \(\phi\), obiettivo della previsione e confronto dipendono dagli intervalli.

L'articolo presenta un esempio concreto: una misura costruita su circa \(6.5\) ore di contrattazione è abbinata alla varianza condizionale di un rendimento tra chiusure su \(24\) ore. In questo caso gli autori si aspettano \(φ < 1\), perché la misura intraday copre soltanto una parte dell'intero intervallo del rendimento. Il valore stimato di \(φ\) dipende quindi dalla misura, dalla sessione e dalla definizione del rendimento; non è un fattore di calibrazione universale da trasferire invariato a un altro asset o schema di campionamento.

I dati ad alta frequenza possono inoltre contenere bid–ask bounce, negoziazione asincrona, discretià dei prezzi, quotazioni obsolete ed errori di registrazione. La guida alla volatilità realizzata a due scale tratta alcune scelte di costruzione. Hansen e Lunde documentano che il rumore di microstruttura del mercato può incidere materialmente sulla misurazione della varianza realizzata (2006). Un proxy diverso può cambiare adattamento, previsioni e stime di leverage.

Poiché il modello log-lineare usa \(\log x_t\), la misura scelta deve essere strettamente positiva. Se i dati possono essere zero o negativi, una trasformazione, un filtro o un limite minimo cambia il modello e va motivato e dichiarato. Verifica se la misura include salti, quale sessione copre, come gestisce barre mancanti e se le unità coincidono con la varianza dei rendimenti. Più osservazioni intraday non eliminano automaticamente l'errore di misurazione.

GARCH ordinario usa rendimenti o innovazioni quadratiche ritardati e la varianza ritardata. Realized GARCH aggiunge una misura realizzata alla dinamica della varianza e la modella con un'equazione legata alla varianza latente e agli shock dei rendimenti. GARCH-X di solito tratta la misura aggiunta come un input esterno. La regressione MIDAS usa una curva parametrica di pesi dei ritardi tra frequenze diverse; GARCH-MIDAS è un ibrido correlato, ma le sue equazioni vanno lette separatamente. Le etichette non sono intercambiabili.

Il modello prevede una varianza condizionale o una misura realizzata definita secondo le sue ipotesi. Non prevede la direzione dei rendimenti, non dimostra che una misura intraday causi la varianza del giorno dopo e non stabilisce che una strategia sia redditizia. Un'alta verosimiglianza nel campione non garantisce previsioni future migliori. Le conclusioni di trading richiedono un segnale definito separatamente e una valutazione al netto di spread, commissioni, impatto di mercato, finanziamento e limiti di rischio.

Per un rapporto riproducibile, specifica attività e campione, definizione del rendimento e media condizionale, costruzione della misura realizzata e finestra della sessione, equazioni e ordini dei ritardi, ipotesi sulle innovazioni, finestra di stima, origine e orizzonte della previsione, benchmark, funzione di perdita e metodo per l'incertezza. Riporta la sensibilità a misure realizzate plausibili e dichiara esclusioni dei dati o aggiustamenti per imporre la positività.