QLIKE e errore quadratico per le previsioni di volatilità: proxy rumorose

Un modello di volatilità prevede quanto può disperdersi un rendimento futuro, non se sarà positivo o negativo. Per valutarlo, definisci prima l’obiettivo: per esempio, la varianza condizionale del rendimento di domani, misurata in punti base al quadrato. Una previsione della deviazione standard, una previsione della varianza e una stima intraday della varianza realizzata sono grandezze collegate, ma non intercambiabili senza specificare una trasformazione e un orizzonte.

Questa domanda è distinta dal modo in cui il modello produce la previsione. La guida GARCH illustra un metodo per aggiornare la varianza condizionale usando i rendimenti passati. Questa guida parte dal momento in cui due o più modelli hanno già prodotto previsioni e considera come valutarle rispetto a una misura imperfetta della varianza poi realizzata.

“Previsione migliore” non ha un significato univoco finché non si fissano obiettivo, campione di valutazione e funzione di perdita. Un modello può essere primo con una perdita e secondo con un’altra perché ciascuna assegna un costo diverso agli errori di previsione

Indichiamo con vₜ la varianza condizionale non osservata del rendimento obiettivo, con hₜ una previsione formulata usando le informazioni disponibili prima di quel rendimento e con xₜ un proxy osservato usato per la valutazione. Un proxy comune è il rendimento al quadrato, ma è condizionatamente non distorto per la varianza solo quando la media condizionale del rendimento è zero. Se la media condizionale non è zero, il rendimento grezzo al quadrato stima il secondo momento condizionale, non la varianza condizionale. Si può invece costruire il proxy dai rendimenti dopo aver rimosso la media condizionale. La varianza realizzata, ottenuta dai rendimenti intraday, può fornire una misura più informativa della variazione nel corso di una seduta, ma misura comunque un intervallo e dipende dalle regole di campionamento e dai dati di prezzo.

Sottrarre la media non elimina automaticamente la distorsione del proxy quando la media condizionata è stimata. Se mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁) e la media stimata m̂ₜ è fissata con le informazioni disponibili all’origine della previsione, allora E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Ogni errore prevedibile nella stima della media aggiunge quindi al proxy un termine non negativo. Prima di richiamare un risultato di non distorsione condizionata, specifica come viene stimata la media e se il proxy mira alla varianza o al secondo momento.

Allinea xₜ e hₜ per lo stesso asset, definizione di rendimento, intervallo temporale, orizzonte e unità. Se xₜ è espresso in bp², anche hₜ deve esserlo; la perdita dell’errore quadratico sarà allora in bp⁴. Una previsione giornaliera da chiusura a chiusura non dovrebbe essere valutata rispetto a una misura realizzata che esclude la notte, a meno che quello non sia l’obiettivo dichiarato.

Conserva il proxy e le previsioni di tutti i modelli per le stesse date di valutazione. Se a un modello manca la previsione per una data, definisci in anticipo un campione comune o una regola giustificata per i dati mancanti. Confrontare medie calcolate su date diverse può confondere la prestazione del modello con le differenze nelle condizioni di mercato affrontate da ciascun modello

Per un proxy di varianza non negativo xₜ e una previsione positiva della varianza hₜ, la perdita dell’errore quadratico è

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

La perdita QLIKE è

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Punteggi più bassi indicano risultati migliori. Quando xₜ è strettamente positivo, QLIKE si scrive spesso anche nella forma equivalente basata sul rapporto, xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. Le due formule differiscono per un termine che dipende dal proxy osservato ma non dalla previsione, quindi ordinano i modelli nello stesso modo su un campione comune. La forma log(hₜ) resta definita anche quando xₜ è zero, purché hₜ sia positivo. Patton presenta queste definizioni di perdita per la varianza e ne studia il comportamento con proxy imperfetti (Patton, 2011).

QLIKE corrisponde a uno score di quasi-verosimiglianza gaussiana per le previsioni di varianza (Hansen e Lunde, 2005). Questo legame non dimostra che i rendimenti siano gaussiani, né un punteggio basso verifica le ipotesi distributive del modello. L’errore quadratico misura invece lo scarto assoluto tra proxy e previsione, elevato al quadrato. La scelta dipende dall’obiettivo del confronto e dalle ipotesi sul proxy

La perdita dell’errore quadratico è espressa in unità di varianza al quadrato e cresce rapidamente quando proxy e previsione sono lontani. Pochi valori del proxy molto grandi possono quindi dominare la media. Questo comportamento può essere appropriato se gli errori assoluti grandi in unità di varianza meritano un peso molto maggiore, ma rende il risultato sensibile alle osservazioni estreme.

Moltiplicare xₜ e hₜ per la stessa costante positiva di conversione c aggiunge log(c) a log(hₜ) + xₜ/hₜ. Questo termine è uguale per tutte le previsioni valutate sullo stesso campione di proxy, quindi la graduatoria non cambia; il valore assoluto del termine logaritmico dipende invece dall’unità scelta. QLIKE risponde al rapporto tra previsione e proxy attraverso xₜ/hₜ e alla scala di hₜ attraverso log(hₜ). Se una previsione è molto più bassa di un proxy elevato, il termine del rapporto aumenta rapidamente; anche una sovrastima costa di più quando log(hₜ) cresce, ma più lentamente a parità di errore proporzionale. QLIKE non è una perdita resistente ai valori anomali: un proxy estremo contribuisce comunque attraverso xₜ/hₜ.

Nessuno dei due score prevale per ogni decisione. L’errore quadratico dà più peso agli scarti assoluti grandi nelle unità di varianza, mentre QLIKE ha un profilo diverso per gli errori relativi. Il risultato di robustezza ai proxy di Patton non significa che le due perdite ordinino sempre allo stesso modo le previsioni o che una delle due sia immune ai valori anomali

Supponiamo che i proxy osservati della varianza siano x = [1, 4] bp². Il Modello A prevede hᴬ = [1, 1] bp², mentre il Modello B prevede hᴮ = [4, 2] bp². I valori sono ipotetici e servono a mostrare come la perdita possa cambiare l’ordine dei modelli.

L’MSE favorisce il Modello A: il suo punteggio medio è 4,5 bp⁴ contro 6,5 bp⁴ del Modello B. QLIKE favorisce il Modello B: il suo punteggio medio è circa 2,165 contro 2,5 per A. Queste due righe mostrano solo il calcolo. Sono troppo poche per stimare l’incertezza, dimostrare che una previsione sia migliore o concludere qualcosa su una strategia di trading <!-- learn:illustration -->

Un proxy di volatilità può essere rumoroso e al tempo stesso condizionatamente non distorto. Supponiamo che E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, dove Fₜ₋₁ è l’informazione disponibile quando si formula la previsione. La perdita quadratica attesa per una previsione hₜ basata su tali informazioni è

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Il termine di varianza non dipende dalla previsione valutata. Aumenta quindi l’MSE atteso di tutte le previsioni della stessa quantità e si annulla quando si confrontano le perdite attese. Per QLIKE, la non distorsione condizionale implica

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Questo è lo score che si otterrebbe sostituendo il proxy con la varianza latente. In queste condizioni, ciascuna perdita preserva la classifica attesa delle previsioni concorrenti rispetto all’obiettivo latente. Patton (2011) chiama questa proprietà robustezza delle classifiche rispetto al proxy: riguarda il rumore nelle classifiche attese, non la resistenza ai valori anomali.

Il risultato presuppone la stessa informazione condizionale, un proxy condizionatamente non distorto, previsioni positive per QLIKE e perdite attese finite. Non afferma che MSE e QLIKE classifichino i modelli nello stesso modo. Nell’esempio di due periodi, ciascuna perdita usa le stesse osservazioni rumorose, ma attribuisce un peso diverso agli errori di previsione

L’invarianza della classifica attesa non garantisce che ogni campione realizzato riproduca la classifica basata sulla varianza latente. Il rumore del proxy aggiunge variabilità alle perdite osservate e può ridurre la potenza del confronto tra previsioni. Un periodo di valutazione breve può ordinare diversamente i modelli solo perché alcuni valori del proxy sono risultati insolitamente alti o bassi, anche quando la non distorsione condizionale vale in media.

La garanzia viene meno anche se il proxy è condizionatamente distorto rispetto all’obiettivo dichiarato. La varianza realizzata ad alta frequenza può essere influenzata dal bid-ask bounce, da quotazioni obsolete o asincrone, dalla frequenza di campionamento e dall’omissione dei rendimenti overnight. Un proxy rivolto alla varianza integrata intraday potrebbe non essere una misura non distorta della varianza condizionale da chiusura a chiusura. La guida al calcolo della volatilità realizzata esamina le scelte di costruzione, mentre la guida alla varianza realizzata a due scale illustra uno stimatore progettato per affrontare parte del rumore di microstruttura nei dati ad alta frequenza. Hansen e Lunde (2006) documentano come il rumore di microstruttura possa influenzare la misurazione della varianza realizzata (DOI Hansen e Lunde, 2006).

“Robusto” ha qui un significato circoscritto: se il proxy è condizionatamente non distorto, la classifica attesa è preservata. Non significa che lo score campionario ignori i valori anomali, che ogni misura di volatilità realizzata sia non distorta o che il confronto sia protetto da un disallineamento dell’obiettivo. Specifica che cosa misura il proxy e quali ipotesi lo collegano a vₜ

Per due previsioni hᴬₜ e hᴮₜ fissate alla stessa origine, la differenza MSE attesa è E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². Con la stessa condizione sul proxy, la differenza QLIKE attesa è log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Queste espressioni mostrano cosa elimina la robustezza della graduatoria rispetto al proxy: il rumore aggiuntivo nello score atteso del proxy. I confronti tra previsioni restano comunque diversi, perché MSE e QLIKE attribuiscono costi diversi agli errori.

Dopo aver scelto lo score, calcola per ogni origine di previsione comune la differenza appaiata tra le perdite. Con dₜ = L_A,ₜ − L_B, una media positiva favorisce B perché B ha la perdita più bassa. Il test di Diebold–Mariano valuta se la differenza attesa è zero usando la serie temporale di queste differenze appaiate; non sceglie tra QLIKE e MSE né stabilisce quale obiettivo debba interessare. La guida Diebold–Mariano illustra il quadro inferenziale più ampio.

Se le previsioni su più periodi si sovrappongono o le differenze tra score sono serialmente correlate per altri motivi, usa un errore standard che tenga conto della dipendenza, come una stima HAC adeguata. Newey e West (1987) propongono uno stimatore HAC della covarianza semidefinito positivo (Newey–West, 1987). Specifica orizzonte, origini di valutazione, segno della differenza tra perdite, metodo di covarianza e, se pertinente, kernel e bandwidth. Un p-value basso non corregge un proxy distorto o non coerente con l’obiettivo

Usa un disegno cronologico out-of-sample e salva le previsioni che ciascun modello avrebbe effettivamente prodotto a ogni origine. Fissa obiettivo, costruzione del proxy, orizzonte, unità, campione comune e perdita prima di osservare quale modello ottiene il punteggio migliore. Registra finestre di stima, regole di ristima, osservazioni mancanti e uso ripetuto del periodo di valutazione per la messa a punto dei modelli. Se confronti MSE e QLIKE ma riporti solo il vincitore, dichiara questa scelta invece di presentarla come un unico test predefinito.

Riporta la perdita media di ciascun modello, la differenza appaiata, la numerosità del campione, la definizione del proxy e il metodo inferenziale. QLIKE richiede hₜ > 0; definisci prima della valutazione qualsiasi limite minimo alla previsione, perché può modificarne i punteggi. Verifica la sensibilità a scelte difendibili di proxy e campionamento, chiarendo che anche provare molte alternative crea un problema di selezione.

Una perdita di volatilità più bassa misura la prestazione secondo lo score e il proxy scelti. Non dimostra che un predittore causi la volatilità, che i rendimenti siano normalmente distribuiti o che una strategia basata sulla previsione guadagni dopo spread, commissioni, slippage, finanziamento e vincoli di rischio. Valuta capacità previsiva e risultati di trading come affermazioni separate