Test J di Hansen: i vincoli di sovraidentificazione nel GMM

Il metodo dei momenti generalizzati (GMM) stima i parametri rendendo il più possibile vicine a zero le versioni campionarie delle condizioni teoriche di momento. In un modello a variabili strumentali, una condizione può affermare che uno strumento proposto è incorrelato con l’errore strutturale al valore vero del parametro. Altri modelli usano implicazioni delle equazioni di valutazione degli attivi, delle equazioni di Eulero o dei vincoli dei dati panel.

Se il modello ha più condizioni di momento che parametri incogniti, dopo la stima restano vincoli verificabili. La statistica J di Hansen riassume quanto i momenti campionari stimati restino lontani da zero dopo l’applicazione di una specifica matrice di ponderazione. È un test congiunto di specificazione nell’ambito del modello; non è una verifica diretta che possa etichettare un singolo strumento come “valido” o “non valido”.

La distinzione conta nella finanza e nella ricerca quantitativa. Un modello di trading o di valutazione degli attivi può fornire più condizioni di momento, ma l’esito dipende da rendimenti, fattori, strumenti, date e ipotesi di covarianza che definiscono quei momenti. Un p-value basso può costituire evidenza contro quell’insieme di ipotesi; un p-value alto non è una prova indipendente che tutte siano soddisfatte.

Sia \(g_t(\theta)\) un vettore di contributi ai momenti, con \(q\) componenti alla data \(t\), valutato nel vettore dei parametri \(\theta\). La media campionaria è:

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

Il GMM sceglie \(\hat\theta\) per minimizzare una distanza quadratica ponderata come:

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

dove \(W_T\) è una matrice di ponderazione positiva. La ponderazione stabilisce quanto le discrepanze tra le condizioni di momento contribuiscano al criterio. Sotto le ipotesi di campionamento dichiarate, il GMM efficiente usa un peso legato all’inversa della matrice di covarianza di lungo periodo dei momenti. Il test J usa il criterio minimizzato, non il valore della funzione obiettivo per parametri scelti senza stima.

La formula è compatta, ma le sue componenti non sono intercambiabili. Modificare gli strumenti cambia \(g_t\); cambiare il campione modifica la media; cambiare lo stimatore di covarianza cambia il peso; e cambiare stimatore può cambiare i parametri adattati. Per riprodurre una statistica J non bastano quindi un numero e la parola “robusto”.

Con \(q\) condizioni di momento indipendenti e \(k\) parametri localmente identificati, i gradi di libertà convenzionali per la sovraidentificazione sono \(q-k\). Per esempio, tre momenti indipendenti impiegati per stimare due parametri lasciano un vincolo sovraidentificante. Sotto l’ipotesi nulla che valgano tutti i momenti di popolazione, una statistica J ponderata correttamente si confronta asintoticamente con una distribuzione chi-quadrato con quei gradi di libertà.

Quando il numero di momenti coincide con quello dei parametri, il modello è esattamente identificato e i momenti stimati possono in genere essere azzerati. Non restano vincoli aggiuntivi da valutare: i gradi di libertà sono zero e il test di sovraidentificazione non è disponibile. Avere più parametri che momenti indipendenti crea un altro problema di identificazione, non gradi di libertà negativi né un test J significativo.

Si contino i vincoli di momento indipendenti effettivi, non soltanto le colonne mostrate dal software. Strumenti ridondanti o momenti linearmente dipendenti possono ridurre il rango effettivo. Anche il riferimento chi-quadrato regolare richiede identificazione e altre condizioni di grande campione. Il valore nominale \(q-k\) non corregge una matrice di covarianza dei momenti singolare o stimata male.

Supponiamo che un modello usi tre condizioni di momento per stimare due parametri: i gradi di libertà convenzionali sono \(3-2=1\). Supponiamo che un software riporti una statistica J di \(5.4\) con una procedura di ponderazione concepita per essere coerente con le ipotesi di covarianza dichiarate. Rispetto al riferimento chi-quadrato con un grado di libertà, il p-value è circa \(0.020\). Con una soglia del 5% fissata in anticipo, si rifiuterebbe l’ipotesi nulla congiunta che tutti e tre i momenti di popolazione siano zero.

La conclusione è più circoscritta di “lo strumento 2 non è valido”. La statistica J è un’unica distanza ponderata per il sistema e non indica quale momento causi il conflitto. Lo stesso esito può riflettere uno strumento non valido, un’equazione strutturale mal specificata, una dinamica omessa, un modello di covarianza errato o un altro problema dell’impostazione mantenuta. Per indagare la causa servono diagnostiche successive e conoscenza del contesto.

Se il p-value fosse \(0.20\), la conclusione corretta sarebbe che il test non rifiuta i vincoli congiunti alla soglia scelta. Non significherebbe che “gli strumenti sono dimostrati validi”. La mancata reiezione può dipendere da vincoli plausibili, potenza limitata o un campione troppo piccolo o rumoroso per distinguere le violazioni. La soglia va scelta prima di esaminare molte varianti del modello: cercare finché un p-value appare accettabile introduce un problema di selezione.

L’ipotesi nulla è un insieme di vincoli di popolazione, interpretato nel quadro del modello e delle condizioni asintotiche che determinano la distribuzione di riferimento. Se J rifiuta, almeno una parte di quel sistema è difficile da conciliare con il campione sotto la ponderazione del test. Il test da solo non distingue una restrizione di esclusione inadeguata da una forma funzionale errata, dipendenza dallo stato omessa, errore nella costruzione dei dati o stima inappropriata della covarianza di lungo periodo.

Il test non stabilisce neppure la causalità. In un disegno IV, un test di sovraidentificazione valuta se vincoli aggiuntivi siano congiuntamente coerenti tra loro sotto il modello. Non dimostra la restrizione di esclusione per ogni strumento, soprattutto se tutti gli strumenti possono condividere una violazione. Rilevanza ed esclusione hanno significati distinti: per la rilevanza servono diagnostiche della prima fase e dell’identificazione debole; per l’esclusione va spiegato il meccanismo economico.

In un’applicazione lineare di valutazione degli attivi, una statistica di tipo J può testare congiuntamente i vincoli di pricing implicati da uno specifico modello fattoriale e insieme di attività di test. La reiezione non nomina automaticamente il fattore mancante né dimostra che una strategia negoziabile alternativa produrrà rendimenti. La mancata reiezione non stabilisce la verità economica del modello. La guida Fama–MacBeth illustra una procedura correlata per i prezzi del rischio trasversali e i relativi limiti inferenziali.

Il test classico di Sargan è nato nella stima a variabili strumentali sotto ipotesi di covarianza restrittive, di norma errori omoschedastici. Il test J di Hansen è la statistica GMM di sovraidentificazione basata su una covarianza stimata dei momenti: può tenere conto dell’eteroschedasticità e, con una stima adeguata della covarianza di lungo periodo, della dipendenza temporale. L’etichetta “Hansen” non rende l’implementazione robusta a ogni specificazione errata; ponderazione e covarianza devono riflettere il processo dei momenti.

Per momenti di serie temporali, la dipendenza seriale modifica la varianza di lungo periodo della media campionaria. Una stima HAC come Newey–West può entrare in un calcolo adeguato della covarianza se le sue ipotesi e la scelta dei ritardi sono adatte ai dati. Dati panel o osservazioni raggruppate possono richiedere una costruzione diversa. Una correzione della covarianza usata solo per gli errori standard dei coefficienti non implica automaticamente che la funzione obiettivo J abbia una matrice di ponderazione coerente.

Il GMM a uno stadio, a due stadi e iterato può stimare i parametri con pesi differenti. Nelle procedure efficienti a due stadi, il peso stimato aggiunge incertezza campionaria finita; errori standard e test possono essere fragili, soprattutto quando i momenti sono numerosi rispetto alle osservazioni. Le correzioni per campioni finiti studiate da Windmeijer riguardano la stima della varianza in specifici casi di GMM lineare efficiente a due stadi. Non sono una correzione universale di ogni statistica J.

Il test J non misura la forza degli strumenti. Strumenti poco informativi possono rendere inaffidabili stime e approssimazioni convenzionali; occorrono metodi pensati per l’identificazione debole, non un p-value J apparentemente rassicurante. La calibrazione chi-quadrato asintotica non garantisce che un breve campione finanziario si comporti come il limite teorico.

Aggiungere strumenti o condizioni di momento può sembrare utile perché pare aumentare l’informazione. Nel GMM panel dinamico, la proliferazione degli strumenti può sovra-adattare le variabili endogene e ridurre la capacità dei test di specificazione di rilevare violazioni. Un p-value molto alto dopo aver creato un ampio insieme di strumenti può dunque rassicurare poco. Riportare il numero, spiegare i ritardi o la finestra di costruzione e confrontare insiemi ridotti o strumenti collassati quando opportuno.

Campioni piccoli, momenti quasi collineari, stime di covarianza scadenti, parametri al bordo e identificazione debole possono compromettere le interpretazioni da manuale. Servono analisi di sensibilità e inferenza alternativa adeguata, non l’affermazione automatica che il test J “è passato”. Se la selezione del modello ha esplorato molti strumenti, intervalli di ritardi, fattori o tagli del campione, documentare la ricerca e non presentare il risultato più favorevole come prestabilito.

Alcune procedure per panel dinamici riportano un test Hansen per differenza o un test C per un sottoinsieme di condizioni di momento, per esempio un blocco aggiuntivo di strumenti. In termini concettuali, il confronto tra modelli annidati chiede se quel blocco aggiunga vincoli compatibili con gli altri momenti mantenuti. Il risultato è condizionato al resto della specificazione e non costituisce una certificazione indipendente di ogni strumento.

La differenza tra due statistiche J ha una distribuzione di riferimento solo se valgono le pertinenti condizioni di annidamento, stima e covarianza. I modelli confrontati devono usare campioni e definizioni dei momenti compatibili; occorre considerare anche la ponderazione e il comportamento in campioni finiti. La potenza del test sul sottoinsieme può inoltre diminuire se l’insieme completo di strumenti è ampio. Se si testano più blocchi, riportare i confronti svolti, senza selezionare soltanto quello favorevole.

Specificare campione, vettore dei parametri, definizioni dei momenti, numero di osservazioni, numero e rango effettivo dei vincoli e gradi di libertà. Dichiarare se lo stimatore è a uno stadio, a due stadi o iterato; come è stata ottenuta la matrice di ponderazione; quale struttura di covarianza è stata ammessa; e quali correzioni per campioni piccoli sono state applicate. Riportare statistica J, distribuzione di riferimento, p-value e soglia decisionale fissata per l’analisi.

Mostrare il numero e la costruzione degli strumenti, diagnostiche di prima fase o rilevanza e sensibilità delle stime a variazioni ragionevoli dell’insieme di momenti. Spiegare l’argomento economico sui tempi e sull’esclusione che giustifica gli strumenti: la mancata reiezione del test non lo sostituisce. Se si usa un test per sottoinsiemi, definire chiaramente il blocco e il confronto. Per le ipotesi IV, consultare endogeneità e variabili strumentali; per la covarianza, errori standard robusti e HAC.

La teoria asintotica GMM di Hansen (DOI), il test IV di Sargan (DOI), l’analisi dell’identificazione debole di Stock e Wright (DOI), lo studio sulla proliferazione degli strumenti di Roodman (DOI), l’analisi campionaria finita della varianza a due stadi di Windmeijer (DOI) e lo stimatore HAC di Newey e West (DOI) riguardano aspetti distinti. I risultati valgono sotto le rispettive ipotesi, non costituiscono un’approvazione generica di un modello empirico.