Duration di Macaulay, modificata ed effettiva: differenze ed esempio

La scadenza è la data contrattuale prevista per il rimborso del capitale. La duration descrive, in base a ipotesi definite, la tempistica dei flussi o la sensibilità del prezzo. Non è un altro nome per la scadenza e non garantisce quando l’investitore recupererà l’importo pagato.

Se una schermata indica solo “duration”, verifica se si tratta di Macaulay, modificata, effettiva, monetaria o di un’altra misura. Identifica titolo o portafoglio, data di valutazione, rendimento o curva, convenzione di capitalizzazione e base di prezzo. Il CFA Institute distingue le misure basate sul rendimento proprio e su flussi fissi da quelle basate sulla curva di riferimento, che rivalutano il titolo e possono trattare flussi incerti. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

La duration di Macaulay è la media delle date di incasso dei flussi previsti ponderata per il valore attuale. Per il flusso CF_t al tempo t, il prezzo P e il rendimento y, il peso è PV(CF_t)/P. Se P è la somma dei valori attuali dei flussi modellati, i pesi sommano a uno:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

Per un’obbligazione con cedola, la duration di Macaulay è di solito inferiore alla scadenza perché alcune cedole arrivano prima del rimborso del capitale. Un titolo zero coupon ha un solo flusso previsto e, date le ipotesi di flussi e sconto, la sua duration di Macaulay coincide con il tempo alla scadenza.

È una media temporale in valore attuale, non una previsione del periodo di detenzione personale né una garanzia sul rendimento ottenuto reinvestendo le cedole. Alcune analisi di immunizzazione la usano, ma richiedono ulteriori ipotesi sui movimenti dei rendimenti, sul reinvestimento e sulla passività da coprire. Anche FINRA avverte che duration non significa semplicemente tempo alla scadenza. {source:finraDurationExplainer}

Considera un’obbligazione ipotetica senza opzioni incorporate, con nominale di 1.000 dollari, cedola annua del 5%, tre anni residui e rendimento a scadenza del 4%. Supponi pagamenti annuali, valutazione subito dopo una data cedolare e capitalizzazione annuale. I flussi previsti sono 50 dollari dopo un anno, 50 dopo due e 1.050 dopo tre.

Attualizzati al 4%, valgono circa 48,08, 46,23 e 933,45 dollari, per un prezzo complessivo di circa 1.027,75 dollari. Dividendo ciascun valore attuale per il prezzo si ottengono pesi approssimativi del 4,68%, 4,50% e 90,82%. L’ultimo include il capitale, mentre le prime due cedole anticipano comunque la data media.

La somma di tempo per peso, 1 × 4,68% + 2 × 4,50% + 3 × 90,82%, è circa 2,8615 anni. È inferiore alla scadenza di tre anni perché parte del valore attuale deriva da cedole precedenti. I valori mostrati sono arrotondati; il calcolo preciso usa valori attuali non arrotondati. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

La duration modificata adegua Macaulay alla convenzione di capitalizzazione dichiarata. Per una normale obbligazione a flussi fissi, rendimento nominale annuo y e capitalizzazione m volte l’anno, la relazione comune è D_mod = D_Mac / (1 + y/m). Nell’esempio i pagamenti sono annuali, quindi m=1 e 2,8615 / 1,04 dà circa 2,7514 anni.

Per una piccola variazione del rendimento proprio dell’obbligazione, la stima di primo ordine della variazione percentuale del prezzo è ΔP/P ≈ −D_mod × Δy, con Δy in forma decimale. Un aumento di 1 punto base è 0,0001, non 0,01; 100 punti base sono 0,01. Con duration modificata di 2,7514, un aumento di 1 punto percentuale comporta una stima locale di −2,7514%, a parità degli altri input. Il segno meno rappresenta la relazione inversa locale tra rendimento e prezzo in questo caso.

La duration modificata è la pendenza vicino al rendimento iniziale, non una rivalutazione completa per shock di qualsiasi entità. Per stimare un importo in valuta serve anche il valore di mercato della posizione. Una stima DV01 di primo ordine è spesso valore di mercato × duration modificata × 0,0001 per una variazione di 1 punto base del rendimento proprio. Le convenzioni di segno variano e il numero non è un limite fisso di perdita. CME distingue questa sensibilità percentuale dagli importi monetari chiamati DV01, BPV o VBP. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

La duration effettiva usa prezzi ottenuti da valutazioni complete in scenari di tasso. Sia P₀ il prezzo iniziale, P₋ il prezzo dopo una riduzione di Δr della curva di riferimento e P₊ il prezzo dopo un aumento della stessa entità. La differenza centrale è D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr), con Δr espresso in forma decimale. Il risultato è spesso interpretato in anni come sensibilità percentuale allo shock definito.

È utile quando i flussi futuri possono variare con i tassi, per esempio con obbligazioni callable, putable o titoli ipotecari. Il modello può aggiornare l’esercizio atteso o i rimborsi anticipati in ogni scenario e ricalcolare il prezzo. Il risultato dipende quindi da curva di riferimento, entità e forma dello shock, modello, volatilità, ipotesi sui flussi e data di valutazione. Il CFA Institute presenta la duration effettiva per il rischio di curva con flussi incerti; FINRA la distingue da Macaulay e modificata per i titoli con clausole di rimborso. {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

La duration effettiva non è automaticamente “più precisa”. Risponde a un’altra domanda: come cambia il prezzo pieno modellato in uno scenario definito della curva di riferimento? Se i flussi sono stabili e la domanda riguarda il rendimento proprio, la modificata può essere più diretta. Per uno shock di curva specifica se è parallelo e quale curva usa; per un’obbligazione con opzioni, indica anche il modello che ricalcola i flussi.

Torniamo all’obbligazione con nominale di 1.000 dollari. Al rendimento del 4%, il prezzo è circa 1.027,75 dollari e la duration modificata circa 2,7514. Un aumento di 100 punti base dà una stima locale di −2,7514%, ossia −28,28 dollari, fino a circa 999,47 dollari. Una diminuzione di 100 punti base stima un aumento di 28,28 dollari, fino a circa 1.056,03.

Scontando direttamente i flussi previsti al nuovo rendimento, al 5% il titolo vale 1.000 dollari: scende di circa 27,75 dollari o del 2,70%. Al 3% vale circa 1.056,57 dollari: sale di 28,82 dollari o del 2,80%. Le variazioni non sono simmetriche perché la relazione prezzo-rendimento è curva. La duration dà una stima locale; la convessità aiuta a spiegare la differenza di secondo ordine per movimenti maggiori. Sono calcoli ipotetici con flussi invariati, capitalizzazione annuale e stessa convenzione di valutazione, non quotazioni né previsioni. Vedi convessità e sensibilità del prezzo obbligazionario.

Le misure di Macaulay e modificata dell’esempio sono basate sul rendimento. Non è definita una curva di riferimento né un modello di valutazione per shock, quindi la duration effettiva non è calcolata. Per ottenerla bisogna rivalutare il titolo negli scenari di curva stabiliti. Se i flussi cambiano, le ipotesi su esercizio e rimborso anticipato devono restare coerenti tra scenario al rialzo e al ribasso.

Usa Macaulay per il momento medio in valore attuale dei flussi previsti. Usa la modificata per stimare la variazione percentuale locale dovuta a un piccolo cambiamento del rendimento proprio di un’obbligazione con flussi fissi, dichiarando la capitalizzazione. Usa l’effettiva se si muove la curva di riferimento e i flussi possono dipendere dai tassi. Nessuna prevede la direzione dei tassi.

L’aggregazione di portafoglio dipende spesso da pesi per valore di mercato e convenzioni del fornitore. Una sola duration effettiva riassume uno spostamento ampio definito, ma può nascondere torsioni e curvature; la key-rate duration mappa la sensibilità su scadenze selezionate. Per il valore monetario per punto base, vedi DV01 e BPV. Spread creditizio, liquidità, inflazione, cambio e opzioni possono richiedere analisi separate: la duration del tasso di riferimento non misura tutti i rischi obbligazionari.

Contano anche le caratteristiche dell’obbligazione. Nel caso standard a tasso fisso senza opzioni, a parità di condizioni flussi più lontani tendono ad aumentare la duration; cedola o rendimento più elevati di solito aumentano il peso attuale dei pagamenti vicini e la riducono. Avvicinandosi la scadenza, il profilo residuo cambia, quindi la duration non è fissa. Una clausola callable può limitare il rialzo del prezzo quando i tassi scendono. Un titolo a tasso variabile aggiorna periodicamente la cedola e può avere meno sensibilità ai tassi rispetto a un titolo fisso con scadenza simile, ma restano i rischi di spread, ritardo del reset, floor e liquidità. Sono meccanismi sotto ipotesi, non una graduatoria universale. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

Due fonti possono chiamare “duration” misure differenti. Annota titolo o portafoglio, data di valutazione, base a prezzo tel quel o ex cedola, rendimento o curva di riferimento, frequenza di capitalizzazione, dimensione dello shock, movimento parallelo o non parallelo, modello delle opzioni e se i flussi sono fissi o ricalcolati. Per confrontare valori monetari allinea anche dimensione della posizione e valuta. Se un input cambia, spiega la differenza prima del confronto.

La sensibilità del prezzo non è il rendimento totale atteso. Non include tutte le componenti del rendimento realizzato, come cedole, reinvestimento, variazioni di merito creditizio o spread, costi di transazione, imposte o cambi di portafoglio. È una sensibilità condizionata a un punto di partenza e a un modello definiti. Controlla metodo e data di una scheda fondo o schermata di analisi e consulta prospetto o documenti del titolo per i termini contrattuali. Una duration bassa non significa rischio complessivo basso e non prevede perdite future. {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}