ADF e Phillips–Perron: differenze tra i test di radice unitaria

In un’equazione autoregressiva in livelli, una radice unitaria significa che uno shock può non attenuarsi nel livello. Scrivere la prima differenza come regressione sul livello ritardato rende esplicita l’ipotesi: se il coefficiente del livello ritardato è zero, il processo in livelli ha una radice pari a uno nel modello specificato. Un coefficiente negativo indica una direzione compatibile con l’alternativa stazionaria, date le componenti deterministiche e le altre ipotesi.

Perciò, nelle implementazioni usuali di ADF e PP l’ipotesi nulla non è «la serie è stazionaria». La nulla afferma la presenza di una radice unitaria; l’alternativa è la stazionarietà intorno alla componente deterministica scelta. Non rifiutare la nulla perché la statistica non è abbastanza negativa non prova che la radice unitaria esista. Il campione può semplicemente non contenere informazioni sufficienti per distinguerla da un processo stazionario molto persistente con radice autoregressiva vicina a uno.

Questo è diverso da un test con stazionarietà come ipotesi nulla, come KPSS, e da un test diretto di cointegrazione. La guida a stazionarietà e radici unitarie introduce i concetti generali; la guida di Engle–Granger tratta il caso particolare in cui una combinazione lineare di serie non stazionarie è stazionaria.

Una regressione di radice unitaria può non includere termini deterministici, includere una costante oppure una costante insieme a un trend temporale lineare. Non sono opzioni cosmetiche. La costante ammette un drift sotto la nulla di radice unitaria e una media diversa da zero sotto l’alternativa stazionaria. Il trend consente all’alternativa stazionaria di oscillare intorno a un andamento deterministico. Il modello e la distribuzione sotto la nulla cambiano con questi termini.

Includere un trend non necessario può ridurre la potenza perché si stimano più parametri. Omettere un drift o un trend realmente presente può distorcere la dimensione e l’interpretazione del test. Scegli la specificazione in base alla domanda sul processo generatore e al grafico della serie, dichiarala esplicitamente e usa i valori critici corrispondenti. Non selezionare a posteriori l’opzione che produce il rifiuto desiderato.

Lo stesso vale per prezzi logaritmici, spread, tassi d’interesse e rendimenti. Un trend crescente può essere plausibile per un livello di prezzo, ma non per un rendimento. Il test non decide al posto tuo quale variabile economica sia rilevante. Le componenti deterministiche fanno parte dell’ipotesi, non sono un dettaglio di preprocessing da nascondere.

La regressione Dickey–Fuller aumentata si può scrivere così:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Qui dₜ contiene i termini deterministici scelti e l’ipotesi nulla è H₀: γ = 0. Le differenze ritardate aggiuntive mirano a rendere il disturbo residuo sufficientemente adatto all’approssimazione del test. Modellano in modo parametrico la dinamica di breve periodo nella regressione; non aggiungono un altro vincolo di radice unitaria.

L’ordine dei ritardi p è importante. Pochi ritardi possono lasciare correlazione seriale in εₜ e indebolire l’approssimazione prevista. Troppi consumano gradi di libertà e possono ridurre la potenza, soprattutto con un campione breve. Parti da un numero massimo dichiarato, confronta un criterio informativo difendibile con la diagnostica dei residui e indica se ordini vicini cambiano il risultato. Un ritardo selezionato piccolo non dimostra che la dipendenza residua sia innocua. Harris (1992)90022-Q) esamina scelte operative relative a struttura dei ritardi, dimensione e potenza dell’ADF.

In alcuni processi la scelta dei ritardi è difficile. Ng e Perron mostrano che, quando una radice della media mobile è vicina a −1, AIC o BIC convenzionali possono selezionare troppo pochi ritardi di aggiunta nelle procedure di radice unitaria che studiano. I loro criteri informativi modificati sono progettati per procedure con detrending GLS e test correlati. È un’avvertenza per certe dinamiche, non una regola secondo cui un criterio o un ritardo più lungo sia sempre migliore.

Il test di Phillips–Perron parte da una regressione di tipo Dickey–Fuller senza la somma delle differenze ritardate presente in ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Poi corregge la statistica usando stime della varianza di breve periodo e della covarianza di lungo periodo. Una forma comune della stima di quest’ultima è:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

Qui γ̂ⱼ sono autocovarianze dei residui, K è un peso kernel e ℓ è la scelta di banda o troncamento. La definizione esatta dipende dalla statistica PP e dalle convenzioni del software. La distinzione concettuale resta: ADF aggiunge differenze ritardate alla regressione; PP applica una correzione non parametrica per la dipendenza alla statistica di una regressione più breve.

PP non è semplicemente «ADF con errori standard robusti». La correzione modifica la statistica di radice unitaria e il suo trattamento asintotico; un output generico con errori robusti non rende validi i valori critici t ordinari. Kernel e banda determinano quanta dipendenza la correzione cattura. Una banda troppo piccola può ignorare correlazioni rilevanti; una banda eccessiva può rendere rumorosa la stima della varianza di lungo periodo.

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Sotto la nulla di radice unitaria, il livello ritardato deriva da un trend stocastico, non da un regressore stazionario. Le statistiche della famiglia DF hanno quindi distribuzioni limite non standard. Anche con un campione ampio, la tabella t convenzionale non è il riferimento corretto. I valori critici dipendono dalla presenza di costante e trend, oltre che dalla statistica e dall’implementazione.

Le statistiche PP sono trasformate per tenere conto della dipendenza, ma la nulla di radice unitaria si valuta comunque rispetto alla distribuzione non standard appropriata. Usa valori critici o p-value di un’implementazione riconosciuta che corrisponda ai termini deterministici e alla statistica. Non confrontare un ADF di una specificazione con valori critici PP di un’altra, né interpretare il rapporto t di un coefficiente mostrato come una statistica t di Student ordinaria.

La calibrazione asintotica non garantisce un buon comportamento in ogni campione finito. L’indagine Monte Carlo di Schwert segnala sensibilità delle procedure di radice unitaria agli errori di specificazione e differenze nel comportamento a campione finito. Leggi il p-value considerando insieme lunghezza del campione, dipendenza dei dati, scelta del ritardo o della banda e specificazione della regressione.

La dimensione del test è la probabilità di rifiutare una vera nulla di radice unitaria; la potenza è la probabilità di rifiutare sotto una determinata alternativa stazionaria. Un test può sembrare decisivo in un campione ma avere dimensione errata con la struttura di dipendenza effettiva. I ritardi ADF e la correzione di covarianza di lungo periodo PP affrontano problemi collegati con approssimazioni diverse; il risultato dell’uno non garantisce la robustezza dell’altro.

Per ADF, verifica se resta autocorrelazione nei residui dopo l’aggiunta dei ritardi e se un ritardo in più modifica sensibilmente l’inferenza. Per PP, dichiara kernel e regola della banda ed esamina alternative ragionevoli. Sono verifiche di sensibilità, non un permesso di provare molte specificazioni e conservare il p-value più favorevole. I risultati di Ng–Perron avvertono inoltre che la scelta dei ritardi interagisce con il processo degli errori e il detrending deterministico; un criterio informativo meccanico non risolve ogni disegno.

Entrambi i test possono avere poca potenza contro alternative stazionarie molto persistenti. Non rifiutare non è una prova positiva che differenziare sia necessario. Se il campione è breve, la radice vicina a uno o la conclusione è centrale per il modello, considera elementi complementari e procedure con ipotesi esplicite invece di contare ADF e PP come voti indipendenti.

Un salto del livello, un cambiamento di trend, di regime politico, di ancoraggio valutario o della struttura del mercato può far apparire la serie molto persistente, benché siano più adatti segmenti stazionari intorno a un percorso deterministico variabile. L’analisi di Perron sulle grandi rotture storiche mostra perché la conclusione di radice unitaria può dipendere dall’ammettere o meno una rottura. ADF e PP standard non individuano automaticamente ogni rottura.

Traccia la serie, documenta i cambiamenti istituzionali noti e chiediti se un test che considera le rotture o un modello segmentato risponda alla domanda. Cercare una rottura dopo aver osservato lo stesso campione può influire sull’inferenza: usa un metodo con valori critici che tengano conto della ricerca oppure dichiara l’analisi esplorativa. La guida Bai–Perron tratta la stima delle rotture di regressione, non una correzione diretta dell’ADF o PP standard.

Conta anche la trasformazione. Livello del prezzo, log-prezzo, spread e rendimento sono variabili economicamente diverse. Differenziare un livello probabilmente con radice unitaria può produrre una serie più stabile; differenziare un livello stazionario può eliminare informazioni e creare una specificazione inutilmente rumorosa. Nella ricerca sulle coppie, l’analisi di cointegrazione aiuta a distinguere trend stocastici separati da uno spread potenzialmente stazionario. Nessuna diagnosi da sola dimostra la redditività di una strategia.

Supponi che un livello ipotetico segua:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ è un drift costante e le innovazioni εₜ possono essere serialmente dipendenti. Sottraendo yₜ₋₁ si ottiene Δyₜ = μ + εₜ; nella regressione in differenze corrispondente, il coefficiente γ del livello ritardato è zero. È la forma algebrica della nulla di radice unitaria. L’algebra non fornisce un p-value: la distribuzione di riferimento è non standard e dipende dai termini deterministici e dal trattamento della dipendenza.

Con ADF, le differenze ritardate cercano di rappresentare la dipendenza di breve periodo nella regressione. Con PP, l’equazione base è più breve e la statistica riceve una correzione stimata della covarianza di lungo periodo. Se i dati presentano una rottura del trend deterministico, entrambe le implementazioni standard possono essere mal specificate anche se il software mostra una statistica apparentemente precisa.

Il confronto ha quindi tre livelli: la nulla sostanziale, la specificazione della regressione e dei termini deterministici, e la correzione per la dipendenza residua. Se si tengono fermi i primi due, ADF e PP sono diagnostiche alternative utili; cambiare tutti e tre finché un test rifiuta non è una verifica di robustezza. Risultati diversi invitano a esaminare ipotesi e impostazioni, non a una gara che scelga automaticamente il modello.

Indica variabile e trasformazione, date e frequenza del campione, termini deterministici e regola ADF con ordine selezionato, oppure statistica PP, kernel e banda. Specifica nulla e alternativa, statistica, valore critico o p-value corrispondente e controlli di autocorrelazione residua e rotture. Se il risultato è sensibile a scelte ragionevoli, dichiaralo; non mostrare soltanto la specificazione che sostiene l’interpretazione preferita.

Un flusso di lavoro utile definisce prima obiettivo e modello economico, sceglie i termini deterministici, esegue ADF o PP ben specificato, controlla dipendenza e possibili rotture e confronta il risultato con altre evidenze. La guida al variance ratio esamina un’altra implicazione del random walk. Non condivide la stessa nulla e non sostituisce il test di radice unitaria.

Né ADF né PP impone di differenziare quando un p-value supera una soglia. La differenziazione è una scelta di modello legata alla serie e alla domanda: prevedere variazioni, stimare una relazione di lungo periodo, testare uno spread di trading o conservare informazioni nei livelli può condurre a decisioni diverse. Il test aiuta, ma la trasformazione finale dovrebbe considerare anche processo generatore, stabilità, obiettivo previsivo e possibile struttura di cointegrazione.