Distribuzione normale e Student-t nella finanza
Confronta le distribuzioni normale e Student-t per decadimento delle code, gradi di libertà, scala e varianza, verosimiglianza, dipendenza multivariata e limiti come modelli dei rendimenti finanziari
Risposta diretta
Una distribuzione normale ha code che decadono esponenzialmente, fissate da media e varianza. Una distribuzione Student-t aggiunge i gradi di libertà ν e ha code che decadono secondo una legge di potenza, assegnando maggiore probabilità alle osservazioni estreme. Può adattarsi meglio ai rendimenti finanziari, ma una singola distribuzione statica simmetrica non può spiegare ogni regime, asimmetria o cluster di volatilità
Entrambi i modelli sono famiglie di posizione-scala simmetriche
Una variabile normale può essere scritta X=μ+σZ con Z normale standard e σ uguale alla sua deviazione standard
Una variabile Student-t di posizione-scala può essere scritta X=μ+sT_ν, dove s è un parametro di scala e ν controlla lo spessore delle code
Entrambe sono simmetriche intorno a μ, quindi nessuna produce asimmetria dei rendimenti a meno che il modello non venga esteso o trasformato
La Student-t nasce dall'incertezza sulla varianza
La statistica classica T=Z/√(V/ν), con Z∼N(0,1) e V∼χ²_ν indipendenti, ha una distribuzione Student-t standard
Il denominatore casuale rende più probabili i valori standardizzati grandi rispetto a una legge normale a varianza fissa
Quando ν tende all'infinito, l'incertezza del denominatore scompare e la distribuzione Student-t si avvicina alla distribuzione normale
I gradi di libertà determinano i momenti
Le code della Student-t decadono come una legge di potenza controllata da ν, mentre le code della normale decadono esponenzialmente nella distanza al quadrato
La sua media esiste per ν>1, la varianza per ν>2 e il quarto momento per ν>4; valori inferiori di ν eliminano il momento di popolazione corrispondente
Per ν>4, la curtosi in eccesso è 6/(ν−4), rendendo esplicita la transizione verso le code normali
La scala non è sempre la deviazione standard
Per una distribuzione t di posizione-scala con ν>2, Var(X)=s²ν/(ν−2), quindi s è più piccola della deviazione standard
Confrontare σ normale con la scala t s come se entrambe fossero volatilità può creare un confronto falso tra code o verosimiglianze
I pacchetti software usano nomi diversi per i parametri e talvolta versioni standardizzate a varianza uno, quindi registra l'esatta convenzione della densità
La verosimiglianza bilancia centro e code
La massima verosimiglianza normale fa dominare i residui al quadrato e può lasciare che poche osservazioni estreme gonfino la stima della varianza
La verosimiglianza Student-t riduce il peso dei residui standardizzati grandi attraverso ν, offrendo un adattamento dall'aspetto robusto senza dichiararli impossibili
Stimare ν vicino a una soglia dei momenti può rendere instabili varianza, curtosi e misure di rischio anche quando l'ottimizzatore converge
I modelli multivariati cambiano gli estremi congiunti
Una legge normale multivariata implica una copula gaussiana, che ha dipendenza asintotica nelle code nulla al di sotto della correlazione perfetta
Una legge t multivariata condivide una scala casuale e produce dipendenza positiva e simmetrica nelle code per ν finito
Questa simmetria può comunque essere errata per le azioni se i crolli congiunti differiscono dai rialzi congiunti o la dipendenza cambia tra i regimi
La scelta del modello richiede controlli delle code fuori campione
Confronta grafici di probabilità e quantili, superamenti delle soglie, verosimiglianza predittiva, copertura degli intervalli e backtest di VaR o ES
Riadatta su finestre mobili e testa alternative t asimmetriche, miscele, volatilità stocastica e residui filtrati quando la struttura persiste
Un migliore adattamento t significa che è un'approssimazione più utile per il compito scelto, non che i rendimenti seguano letteralmente una sola legge t immutabile
Domande frequenti
Perché la Student-t ha code più spesse della normale?
La sua miscela casuale di scale produce un decadimento polinomiale delle code, mentre le probabilità normali decadono esponenzialmente con la distanza al quadrato
Cosa significano i gradi di libertà?
Il parametro ν controlla lo spessore delle code e l'esistenza dei momenti; valori positivi più piccoli creano code più pesanti
La scala Student-t è uguale alla volatilità?
Non in generale. Per ν>2, la sua deviazione standard è s√[ν/(ν−2)] secondo la comune convenzione di posizione-scala
La Student-t è sempre migliore per i rendimenti finanziari?
No. Cattura code pesanti simmetriche, ma può non cogliere asimmetria, dinamica della volatilità, salti e dipendenza dipendente dal regime