Test KPSS di stazionarietà: ipotesi nulla, statistica e bandwidth

Il test Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin, abbreviato in KPSS, inverte l’ipotesi nulla dei familiari test Dickey–Fuller. L’ipotesi nulla è che la serie sia stazionaria rispetto ai termini deterministici specificati. Nell’impostazione originale, l’alternativa ammette una componente di random walk con varianza positiva delle innovazioni.

Una statistica KPSS sufficientemente grande costituisce evidenza contro l’ipotesi scelta di stazionarietà in livello o in trend. Una statistica piccola indica che il campione non ha fornito evidenza sufficiente per rifiutare l’ipotesi nulla, dato lo schema scelto. Non dimostra che il processo sarà stazionario per sempre, che la media resterà fissa o che un prezzo tornerà a un livello negoziabile.

La guida a stazionarietà e radice unitaria introduce i concetti collegati. Il confronto tra ADF e Phillips–Perron tratta due test che pongono invece la radice unitaria nell’ipotesi nulla. Sono domande complementari, non varianti intercambiabili dello stesso test.

KPSS rappresenta la serie osservata come

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Qui \(d_t\) è la parte deterministica, \(r_t\) una componente di random walk e \(\epsilon_t\) un errore stazionario. Nel test di stazionarietà in livello, \(d_t\) contiene un’intercetta. Nel test di stazionarietà rispetto a un trend, include intercetta e trend lineare temporale.

L’ipotesi nulla impone che la varianza delle innovazioni del random walk sia zero, \(\sigma_u^2=0\). Senza quel random walk, la serie oscilla attorno alla costante o al trend deterministico specificato. L’alternativa ammette \(\sigma_u^2>0\): gli shock possono allora accumularsi in un trend stocastico invece di riassorbirsi attorno al percorso deterministico scelto.

È un modello mantenuto dal test, non l’affermazione che ogni alternativa sia un random walk da manuale. Rotture strutturali, persistenza frazionaria, dinamiche non lineari, varianza variabile o termini deterministici scelti male possono anch’essi rendere inadeguato il modello nullo. Il test segnala una tensione con le ipotesi di stazionarietà scelte, ma non identifica un unico modello sostitutivo.

Regredisci prima le osservazioni sui termini deterministici selezionati e indica i residui con \(\hat e_t\). Le somme parziali cumulative sono

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

La statistica KPSS è comunemente scritta

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

con \(n\) pari alla numerosità campionaria e \(\hat{\omega}^{\,2}\) stima della varianza di lungo periodo dei residui. Una sequenza di residui con lo stesso segno allontana \(S_t\) da zero. Il quadrato delle somme fa pesare le deviazioni persistenti più dei cambiamenti di segno isolati.

La statistica è non negativa. Deviazioni cumulative grandi rispetto alla varianza di lungo periodo rendono più difficile mantenere l’ipotesi di stazionarietà. Il denominatore è essenziale: la dipendenza seriale dei residui modifica la variabilità attesa delle somme parziali anche se il processo sottostante è stazionario.

La versione in livello chiede se la serie sia stazionaria attorno a una costante. La versione in trend rimuove prima intercetta e trend lineare, poi valuta se la componente residua è stazionaria. Alcune implementazioni chiamano questi casi mu e tau, ma nomi e convenzioni di output dipendono dal software.

La scelta cambia sia i residui sia la distribuzione di riferimento. Omettere un trend deterministico da una serie trend-stazionaria può lasciare un lungo andamento nei residui e gonfiare la statistica. Aggiungere un trend senza motivo cambia il modello esaminato e può ridurre la capacità di rilevare alcune alternative. Decidi in base alla definizione dei dati e alla domanda economica; dichiara la scelta invece di cambiarla finché il risultato non appare favorevole.

I valori critici KPSS provengono da distribuzioni asintotiche non standard, diverse per i casi di livello e trend. Non confrontare la statistica con una soglia t o chi-quadrato ordinaria e non applicare una soglia memorizzata a ogni specifica deterministica. Usa la tabella o l’output software corrispondente e indica il livello di significatività.

Alcune implementazioni riportano solo un intervallo del p-value, perché confrontano la statistica con una tabella finita di valori critici. Riporta allora l’intervallo supportato dall’output, senza inventare decimali aggiuntivi. Specifica il caso livello/trend e la fonte dei valori critici per rendere riproducibile la decisione.

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Una stima comune della varianza di lungo periodo usa autocovarianze residue ponderate:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Qui, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) definisce l’autocovarianza campionaria al ritardo \(j\) con denominatore \(n\); le convenzioni per campioni finiti possono variare tra implementazioni.

Con pesi di Bartlett, \(w_j=1-j/(\ell+1)\). La bandwidth di troncamento \(\ell\) decide quante autocovarianze entrano e con quale rapidità diminuiscono i pesi. Le implementazioni possono usare kernel, regole di bandwidth e convenzioni per campioni finiti diversi: per riprodurre il risultato bisogna nominarli.

Questa bandwidth non è il numero di ritardi delle differenze aggiunti alla regressione ADF. Nel KPSS controlla la stima della varianza di lungo periodo; nell’ADF i ritardi di differenza entrano nella regressione. Il software può chiamare entrambe le impostazioni “lag”, quindi «lag 4» da solo non descrive il metodo.

Una bandwidth troppo corta può escludere dipendenza di breve periodo rilevante; una troppo lunga può aggiungere autocovarianze campionarie rumorose. Entrambe possono cambiare statistica, dimensione e potenza del test, senza una direzione valida per ogni serie. Riporta kernel e regola di selezione e verifica se un’alternativa ragionevole, definita in anticipo, cambia l’interpretazione.

Questa correzione di varianza di lungo periodo è collegata alla stima di covarianze coerenti con eteroschedasticità e autocorrelazione. Non rende KPSS robusto a ogni dipendenza, rottura strutturale o specifica deterministica errata. La guida alle covarianze Newey–West spiega ruolo e limiti più generali delle stime HAC.

Supponi che una regressione di trend su sei osservazioni sintetiche lasci residui \(1,-1,0,0,-1,1\). Sommano a zero e sono ortogonali al trend lineare temporale, come devono essere i residui di una regressione con trend. Le somme parziali sono \(1,0,0,0,-1,0\), quindi la somma dei loro quadrati è \(2\).

Per illustrare l’aritmetica, usa autocovarianze campionarie con denominatore \(n\) e bandwidth Bartlett pari a uno. Il termine di varianza residua è \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). L’autocovarianza al ritardo uno è \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), con peso Bartlett \(1/2\). Quindi

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Questo calcolo su sei punti mostra solo la meccanica. Il campione è troppo piccolo per la consueta decisione asintotica KPSS: non confrontare la statistica con valori critici pubblicati come se fosse un risultato empirico.

Eseguire KPSS accanto a un test di tipo ADF mostra quanto la conclusione dipenda dall’ipotesi nulla. Leggi la coppia come evidenza sotto due modelli distinti:

I test possono differire per correzioni dei ritardi, termini deterministici, campione e approssimazioni finite. Allinea le scelte quando ha senso e registra le differenze inevitabili. Non trasformare le quattro combinazioni in una regola automatica di differenziazione. La mancata reiezione non dimostra che l’ipotesi nulla sia vera.

Uno spostamento una tantum della media, un trend variabile o una rottura della varianza possono far sembrare non stazionario un processo stazionario all’interno dei regimi. Al contrario, una radice vicina a uno rende difficile distinguere i casi con dati finiti. Campioni brevi, outlier, code pesanti, aggiustamento non lineare e integrazione frazionaria aggiungono ulteriori rischi per l’approssimazione.

Prima di riportare il test, traccia livello, componente deterministica scelta e residui. Se una rottura è plausibile, usa un disegno che la consideri e dichiara ipotesi, trattamento e valori critici. Se hai cercato molte date o bandwidth, dichiara la selezione: il p-value minimo della ricerca non è un test intatto.

Per uno spread fra due asset, KPSS non verifica la cointegrazione. La guida Engle–Granger illustra un test di cointegrazione sui residui e i suoi valori critici specifici. La guida al rango di Johansen tratta l’approccio di sistema. KPSS su un singolo prezzo non sostituisce nessuna delle due analisi.

Se applichi KPSS a residui ottenuti dopo aver stimato un rapporto di copertura, un modello ARMA o una data di rottura scelta, quei residui derivano da uno step di stima precedente. Stima dei parametri e selezione possono cambiare la distribuzione nulla. Non presumere validi i valori critici ordinari per l’intera pipeline: usa un test sui residui calibrato per il modello o un bootstrap che ripeta le stime.

Indica variabile e trasformazione, numero di osservazioni, ipotesi nulla di livello o trend, termini deterministici, kernel HAC, regola della bandwidth, statistica, valori critici o p-value corrispondenti e livello di significatività. Includi analisi di sensibilità solo con alternative motivate e dichiarate; non selezionare il risultato più presentabile dopo aver provato molte finestre e versioni.

Per dati di mercato, specifica date, frequenza, allineamento delle sessioni, trattamento dei mancanti e se la serie è un prezzo, rendimento, residuo o spread. Non rifiutare l’ipotesi nulla KPSS non significa che uno spread convergerà presto. Una strategia di mean reversion richiede ancora equilibrio definito, valutazione fuori campione, segnale disponibile al momento dell’ordine e costi realistici di spread, finanziamento, prestito ed esecuzione.

Un test sul livello del log-prezzo risponde a una domanda diversa da un test sul rendimento, cioè la prima differenza del log-prezzo. La differenziazione può rimuovere un trend stocastico in alcuni modelli, ma cambia anche la variabile studiata e non prova una relazione di lungo periodo fra asset. Scegli la trasformazione in base all’oggetto stimato e dichiarala esplicitamente.

Il lavoro del 199290104-Y) di Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin formula KPSS come test LM dell’ipotesi che la componente random walk abbia varianza zero. Il lavoro del 1987 di Newey e West è un riferimento primario per stimatori HAC semidefiniti positivi. Per il confronto con l’ipotesi nulla di radice unitaria, si veda il lavoro del 1979 di Dickey e Fuller.