Test del rapporto di varianza: random walk, orizzonti e trading

Sia \(P_t\) un prezzo osservato e \(x_t=\ln(P_t)\) il suo logaritmo. Il rendimento logaritmico di un periodo è \(r_t=x_t-x_{t-1}\). Quello su \(q\) periodi somma \(q\) rendimenti consecutivi di un periodo. Se gli incrementi non sono correlati e hanno varianza stabile, la varianza della loro somma cresce in proporzione a \(q\).

Il rapporto di varianza della popolazione è

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

In base a questa condizione di scalabilità della varianza, \(\operatorname{VR}(q)=1\). Il procedimento di Lo–MacKinlay trasforma questa relazione in una statistica campionaria e in un test del vincolo del random walk. Uno è il valore di riferimento implicato da incrementi non correlati, non significa che i prezzi siano regolari o prevedibili. Nella loro applicazione iniziale gli autori rifiutarono la specifica del random walk sui dati storici azionari statunitensi, ma avvertirono esplicitamente che il solo rifiuto non dimostrava un modello di prezzi mean-reverting.

Per rendimenti stazionari di un periodo con autocorrelazione \(\rho_j\) al ritardo \(j\), lo stesso rapporto della popolazione si può scrivere come

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

Ogni autocorrelazione riceve un peso che diminuisce all'aumentare del ritardo. Il rapporto riassume quindi una somma ponderata di correlazioni seriali fino all'orizzonte \(q-1\); non equivale all'autocorrelazione di un singolo ritardo.

Per \(q=4\), supponiamo che un processo ipotetico dei rendimenti abbia \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\) e \(\rho_3=0\). Allora

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

Il valore superiore a uno riflette una dipendenza ponderata positiva su quegli orizzonti. Se le prime due autocorrelazioni fossero \(-0.10\) e \(-0.04\), mentre la terza restasse zero, il rapporto sarebbe \(0.83\). Sono calcoli ipotetici sulla popolazione. Una stima campionaria osservata può differire per effetto della variabilità campionaria, del cambiamento della volatilità e delle correzioni dell'estimatore per campioni finiti.

Schemi diversi di autocorrelazione possono produrre lo stesso rapporto a un dato orizzonte. I contributi positivi e negativi possono compensarsi, perciò un rapporto esattamente pari a uno non richiede che tutte le autocorrelazioni incluse siano nulle. Esaminare più orizzonti prestabiliti può rivelare un profilo diverso, ma se i risultati vengono testati insieme serve anche un'inferenza congiunta.

Il test si applica di solito ai logaritmi dei prezzi osservati a intervalli regolari o alle loro prime differenze. Se le osservazioni sono prezzi di chiusura giornalieri, \(q=5\) riguarda un rendimento su cinque sedute, non una settimana di calendario con un diverso numero di sedute di borsa. Sedute mancanti, intervalli notturni e timestamp irregolari cambiano il significato di «un periodo». Specifica il calendario di mercato e se i prezzi includono distribuzioni o altre operazioni sul capitale.

Usare rendimenti semplici invece di quelli logaritmici è una scelta di modellizzazione, non una semplice rinomina valida a ogni orizzonte. I rendimenti logaritmici si sommano esattamente nel tempo; quelli semplici si compongono. Per movimenti piccoli possono essere numericamente vicini, ma la definizione deve corrispondere alla domanda e restare coerente nell'esempio, nella stima e nel backtest. Non applicare la formula a un livello di prezzo come se fosse una serie di rendimenti.

La maggior parte delle implementazioni costruisce rendimenti sovrapposti su \(q\) periodi affinché ogni osservazione disponibile contribuisca alla stima. Questo aumenta il numero di osservazioni aggregate, ma le finestre adiacenti condividono molti rendimenti di un periodo e non sono indipendenti. L'errore standard del test tiene conto di questa costruzione secondo le ipotesi adottate; trattare i rendimenti sovrapposti come indipendenti sottostimerebbe l'incertezza.

Supponiamo che la varianza del rendimento di una seduta di un'attività ipotetica sia \(0.0001\), equivalente a una deviazione standard dell'1% per seduta. Con incrementi non correlati, la varianza di un rendimento su quattro sedute è \(4\times0.0001=0.0004\), la deviazione standard è del 2% e il rapporto è \(0.0004/(4\times0.0001)=1\).

Supponiamo ora che la varianza stimata su quattro sedute sia \(0.000468\), mentre quella su una seduta resti \(0.0001\). Il rapporto campionario è \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\). Il calcolo descrive il confronto della dispersione tra gli orizzonti selezionati. Non significa che il rendimento atteso sia maggiore del 17%, che il prossimo rendimento abbia il 17% di probabilità in più di essere positivo o che una posizione di quattro sedute abbia un rendimento atteso del 17%.

Per formulare un'affermazione inferenziale, confronta il rapporto stimato con la sua distribuzione di test e la relativa misura d'incertezza. Un rapporto vicino a uno può verificarsi anche quando altri aspetti del processo dei prezzi non rispettano un modello completo di random walk. Al contrario, in un campione rumoroso o breve un rapporto diverso da uno può non essere statisticamente distinguibile da uno. Tieni separati stima, statistica di test, valore p e interpretazione economica.

La statistica classica omoschedastica di Lo–MacKinlay standardizza \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) usando una varianza asintotica derivata sotto l'ipotesi di incrementi a varianza costante. Se la volatilità condizionata dei rendimenti cambia, questo errore standard può rappresentare in modo scorretto la dimensione del test. Lo e MacKinlay sviluppano anche una stima della varianza robusta all'eteroschedasticità per la statistica del rapporto di varianza.

«Robusta all'eteroschedasticità» ha un ambito specifico: secondo le ipotesi del test, adegua l'inferenza a un insieme più ampio di variazioni della varianza dei rendimenti. Non corregge una serie di prezzi errata, la dipendenza a qualsiasi orizzonte possibile, le rotture strutturali, quotazioni obsolete o un campione troppo breve. Alcuni software indicano le due opzioni con simboli come \(Z\) e \(Z^*\); consulta la documentazione per sapere quale ipotesi nulla e quale formula dell'errore standard sono implementate.

Lo studio del 1989 sui campioni finiti ha rilevato che le prestazioni dipendono dall'ipotesi nulla e dall'alternativa considerate e, nelle simulazioni esaminate, ha riportato una maggiore affidabilità rispetto ad alcuni test concorrenti sotto un'ipotesi nulla di random walk eteroschedastico. Non è una garanzia universale per ogni campione o implementazione. Con un campione piccolo può essere utile un bootstrap o un'altra procedura per campioni finiti; anche il suo schema di ricampionamento deve però preservare le caratteristiche di dipendenza e volatilità rilevanti per la domanda.

Un test con un solo \(q\) chiede se il vincolo di scalabilità della varianza vale per l'orizzonte selezionato. Se \(q\) è stato scelto dopo aver esaminato molti orizzonti, il valore p riportato non tiene conto della ricerca. Provare \(q=2,4,8,16\) e mettere in evidenza solo il risultato più significativo aumenta la probabilità di un falso positivo.

Una procedura congiunta del rapporto di varianza testa insieme un insieme di orizzonti prestabilito e corregge la decisione per i confronti multipli. Chow e Denning svilupparono un test multiplo di questo tipo perché trattare molti rapporti individuali come decisioni separate non corrette può aumentare notevolmente il tasso complessivo di errore di tipo I. Il risultato congiunto riguarda la famiglia di orizzonti testata; non spiega quale ritardo, meccanismo o partecipante al mercato abbia prodotto lo scostamento.

Scegli gli orizzonti in base alla frequenza di campionamento e alla domanda di ricerca. Un confronto tra un giorno, una settimana e un mese può essere utile, ma ciascuno ha un diverso insieme di informazioni e una diversa struttura di sovrapposizione dei rendimenti. Riporta l'intero insieme testato, non solo l'orizzonte più favorevole, e distingui una ricerca esplorativa da un test di conferma.

Una stima superiore a uno è compatibile con una dipendenza seriale ponderata positiva sui ritardi selezionati. Una stima inferiore a uno è compatibile con una dipendenza ponderata negativa su quei ritardi. Nessuno dei due segni identifica in modo univoco momentum, mean reversion, aggiustamento ritardato dei prezzi, effetti delle scorte, rimbalzo bid-ask, negoziazione asincrona o un processo di volatilità.

In particolare, \(\operatorname{VR}(q)<1\) non dimostra che il livello dei prezzi sia stazionario. Una serie può avere un rapporto inferiore a uno a un dato orizzonte e conservare comunque un trend stocastico. Viceversa, rifiutare il vincolo di random walk non dimostra da solo un'alternativa stazionaria mean-reverting; Lo e MacKinlay hanno esplicitamente osservato che il loro rifiuto nei dati azionari studiati non sosteneva tale conclusione.

L'inferenza dipende anche dal fatto che l'oggetto testato sia un rendimento, il logaritmo del prezzo, un rendimento in eccesso o un'altra serie trasformata. Un risultato sui rendimenti giornalieri tra chiusure non dice automaticamente nulla sulle quotazioni intraday o su un universo di attività diverso. Specifica l'oggetto e limita di conseguenza l'interpretazione.

Il bid-ask bounce può creare dipendenza negativa a breve termine nei rendimenti basati sui prezzi di transazione anche quando il processo più lento del valore economico non inverte la direzione. I titoli poco liquidi possono aggiornarsi in modo asincrono e i prezzi di chiusura possono riflettere finestre informative diverse tra sedi di negoziazione. Queste caratteristiche possono incidere soprattutto sugli orizzonti più brevi. Prima di definire il pattern un'anomalia di mercato, controlla la qualità delle quotazioni, l'attività di negoziazione, l'allineamento dei timestamp e la sensibilità a un intervallo di campionamento più lento.

Il clustering della volatilità incide sugli errori standard anche quando i segni o i livelli dei rendimenti non mostrano un pattern direzionale stabile. Un cambiamento strutturale nella media, nella volatilità, negli orari di negoziazione o nella composizione del mercato può far sì che un unico rapporto sull'intero campione mescoli regimi distinti. Esamina la stabilità dei sottoperiodi senza selezionare solo la finestra che supporta l'interpretazione preferita.

La ricerca tra attività, frequenze, orizzonti, filtri e date finali del campione crea un ulteriore problema: la selezione sul rumore. Un rapporto di varianza statisticamente insolito trovato dopo un'ampia ricerca non è un test d'ipotesi non condizionato dalla ricerca. Predefinisci un orizzonte principale o usa un metodo congiunto o di ricampionamento adeguato, quindi convalida il pattern scoperto su dati cronologicamente successivi.

Il test del rapporto di varianza riassume la variabilità dei rendimenti tra orizzonti. Non specifica direzione, ingresso, uscita, stop, dimensione della posizione, durata di detenzione o se il segnale è disponibile prima dell'esecuzione. Anche un pattern di dipendenza stabile può essere troppo piccolo per compensare commissioni, spread, impatto sul mercato, finanziamento, prestito titoli e turnover.

Per uno studio di trading, definisci segnale e momento decisionale prima di osservare i rendimenti futuri. Stima i parametri in una finestra di formazione, fissali e valuta osservazioni successive. Se il risultato è emerso dopo aver provato molti titoli o orizzonti, riserva un periodo di test davvero intatto oppure usa un metodo che tenga conto della ricerca. Confronta i risultati al netto dei costi con un riferimento e includi esecuzioni realistiche, non solo una previsione teorica del rendimento.

Usa il rapporto di varianza come strumento diagnostico insieme a grafici, controlli di autocorrelazione, test di radice unitaria e analisi di stabilità. Uno scostamento dalla scalabilità della varianza può motivare un modello più specifico, ma quel modello richiede ipotesi ed evidenze fuori campione proprie. Il test descrive in modo compatto una restrizione sui momenti, non prova l'esistenza di un vantaggio.

Indica la definizione del prezzo, la trasformazione dei rendimenti, la frequenza di osservazione, le date del campione, il numero di osservazioni utilizzabili e se i rendimenti si sovrappongono. Riporta ogni orizzonte \(q\) testato, il rapporto di varianza campionario, la versione dell'errore standard, la statistica di test, il valore p, il livello di significatività e l'eventuale correzione congiunta per più orizzonti.

Spiega come sono state gestite osservazioni mancanti, operazioni sul capitale, chiusure dei mercati e timestamp. Indica se inferenza robusta alla volatilità, bootstrap, sottoperiodi o intervalli di campionamento alternativi hanno modificato il risultato. Per un'applicazione di trading, separa il campione statistico dal periodo di valutazione e dichiara costi, tempistiche di esecuzione, regole di selezione e tutte le attività e gli orizzonti provati.

Lo e MacKinlay presentano il test di specificazione del rapporto di varianza e ne studiano dimensione e potenza nei campioni finiti. Chow e Denning spiegano perché testare più rapporti di varianza richiede il controllo congiunto della dimensione90051-6). Per concetti correlati, consulta le guide su stazionarietà e radici unitarie, cointegrazione di Engle–Granger e test del rango di cointegrazione di Johansen.