Stratonovich vs Itô Kalkulus Dijelaskan
Pelajari bagaimana Stratonovich dan Itô stokastik integral berbeda, bagaimana untuk mengubah istilah drift mereka, dan mengapa model keuangan harus menyatakan konvensi
Jawaban langsung
Itô dan Stratonovich menghitung menggambarkan dinamika stokastis yang sama yang dikonversi dengan tepat, tetapi mereka mengevaluasi integrand bising di titik yang berbeda dalam setiap interval. Konversi menambahkan istilah drift variasi kuadrat, sehingga persamaan tidak lengkap sampai konvénsi integralnya diberi nama
Titik pengambilan sampel mengubah integral
Integral Itô menggunakan informasi di ujung kiri setiap interval waktu. Hal ini membuat integrandnya dapat diprediksi dan memberikan integral properti martingale di bawah asumsi standar
Integral Stratonovich menggunakan batas gaya titik tengah.
Konvensinya mengikuti dari batas pemodelan, aliran informasi, dan kuantitas yang diwakili
Konversi konvensi perubahan drift
Untuk difusi satu dimensi, dX = a(X)dt + b(X)∘dW dalam bentuk Stratonovich menjadi dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW dalam bentuk Itô
Istilah tambahan bukanlah penyesuaian diskressional.
Ketika b adalah konstan, b' adalah nol dan kedua bentuk setuju. Volatilitas tergantung negara adalah di mana pencampuran diam menjadi mahal
Contoh suara perkalian mengungkapkan perbedaan
Ambil b(X) = σX dan drift Stratonovich nol. Drift Itô ekuivalennya adalah 1/2σ²X.
Menggunakan σ = 40% membuat koreksi 8% dari X per tahun sebelum drift ekonomi yang ditentukan secara terpisah
Jumlah itu adalah perubahan representasi, bukan hasil saham yang diharapkan atau alpha yang dapat diperdagangkan. Model keuangan masih harus menentukan pengukuran, carry, dividen, dan kendala [!TRYMARK] Pertahankan konvensi dengan skenario Pada tanggal atau titik pemeriksaan pendapatan, catat input saham, IV asumsi, hasil target, dan apakah model menggunakan Itô atau Stratonovich dinamika.
Model harga biasanya menunjukkan dinamika Itô
Model harga aset waktu terus-menerus biasanya menggunakan proses Itô karena strategi perdagangan pembiayaan diri disesuaikan dengan informasi yang tersedia sebelum kejutan berikutnya
Lemma Itô, ukuran martingale, dan standar BlackScholes turunan ditulis dalam konvensi itu
Model fisik yang berasal dari batas-batas kebisingan warna dapat secara alami menghasilkan persamaan Stratonovich.
Konversi tidak memperbaiki risiko model
Persamaan dapat dikonversi dengan benar dan masih tidak memiliki lompatan, volatilitas stokastis, likuiditas, hedging diskrit, atau parameter yang salah ditentukan
Sistem multidimensional membutuhkan struktur Jacobian dan covariance penuh, bukan jalan pintas skala setengah kali b-kali b-prime
Selalu menyatakan SDE, konvensi integral, ukuran probabilitas, satuan waktu, dan interpretasi kebisingan sebelum membandingkan hasil
Pertanyaan umum
Apakah kalkulus Stratonovich lebih akurat dari kalkulus Itô?
Tidak. Mereka adalah deskripsi setara jika dikonversi dengan benar. Bentuk yang tepat tergantung pada bagaimana model stokastis muncul dan bagaimana itu akan digunakan
Mengapa drift berubah selama konversi?
Integrand dapat bergerak bersama dengan gerakan Brownian ketika tergantung pada keadaan.
Bisakah aku menggunakan aturan rantai biasa dengan proses Itô?
Tidak langsung. Lemma Itô menambahkan istilah urutan kedua dari variasi kuadrat. Notasi Stratonovich mengembalikan aturan yang terlihat biasa hanya dengan konvensi sendiri