Lemma Itô dalam Harga Opsi Terjelaskan
Pelajari mengapa fungsi stokastis membutuhkan istilah urutan kedua tambahan, bagaimana lemma Itô memperluas nilai opsi, dan bagaimana hedging delta mengarah ke persamaan harga
Jawaban langsung
Lemma Itô adalah aturan rantai untuk proses stokastis. Inkrement Brownian adalah dari urutan √dt, jadi kuadratnya berkontribusi pada urutan dt. Turunan kedua yang bertahan menghubungkan opsi gamma, volatilitas, dan evolusi waktu
Aturan rantai biasa melewatkan variasi stokastis
Untuk jalur deterministik halus x(t), perubahan dalam f(t, x) dijelaskan secara lokal oleh turunan waktu dan turunan pertama terhadap x
Sebuah jalur difusi adalah terus menerus tetapi tidak ada di mana pun yang dapat dibedakan dengan lancar dalam arti biasa.
Skalasi itu membuat istilah Taylor urutan kedua sebesar istilah waktu biasa.
Variasi kuadrat tetap istilah urutan kedua
Tuliskan peningkatan Brownian sebagai dW. Dalam perhitungan Itô, dW2 berkontribusi dt, sementara dt2 dan dt·dW menghilang pada urutan yang relevan
Ini adalah singkatan untuk batas jalur: jumlah increments Brownian kuadrat konvergen ke waktu yang berlalu saat partisi menjadi lebih halus
Ini bukan aljabar biasa mengatakan setiap kejutan acak kuadrat sama dengan waktu. aturan milik integrasi stokastik dan konvensi pembatasan
Lemma memperluas fungsi difusi
Misalkan dS = μSdt + σSdW dan nilai opsi adalah V(t, S. Lemma Itô memberikan perubahan stochastic lokalnya
Drift adalah Vt + μS Vs + setengah σ2S2Vss. Istilah acak adalah σS VsdW, di mana subscript menunjukkan turunan parsial
Delta Vs mengalikan shock orde pertama, sementara gamma Vss memasuki drift orde waktu melalui variasi kuadrat
Gamma mengubah volatilitas menjadi perubahan lokal yang diharapkan
Bahkan ketika kejutan harga acak memiliki nol rata-rata bersyarat, konveksi membuat gerakan positif dan negatif mempengaruhi nilai opsi secara asimetris
Istilah setengah σ2S2Gamma mengukur kontribusi kurva lokal ini. Volatilitas yang lebih tinggi meningkatkan tingkat di mana pembayaran melengkung menumpuk nilai modeling
Ini tidak berarti gamma panjang mendapatkan keuntungan dijamin. Theta, premium dibayar, jalur yang direalisasikan, lompatan, perubahan skew, dan biaya menentukan P&L sebenarnya
Hedging delta menghapus istilah acak yang dimodelkan
Menggabungkan satu opsi dengan minus delta di bawahnya.
Portofolio lokal yang tersisa dimodelkan sebagai tidak berisiko, jadi tidak ada arbitrase mengharuskannya untuk mendapatkan tingkat bebas risiko setelah dividen yang konsisten atau membawa perlakuan
Mengganti kondisi ini menghilangkan μ dan menghasilkan persamaan diferensial parsial BlackScholes.
Rumus ini juga membimbing model yang lebih luas
Dengan beberapa difusi yang korelasi, ekspansi mencakup turunan lintas detik yang ditimbang oleh covariance. Istilah-istilah tersebut menghubungkan korelasi dengan kurva sendi
Perubahan proses negara mengubah generator dan persamaan harga. Volatilitas lokal, volatilitas stokastis, dan model suku bunga semua menggunakan ekspansi Itô terkait
Untuk fungsi yang tidak cukup halus, batas dan kinks membutuhkan perlakuan lemah, umum, atau numerik daripada diferensiasi kasual
Jumps dan hedging nyata membutuhkan persyaratan tambahan
Proses lompatan tidak sesuai dengan aturan Brownian yang berkelanjutan saja. Rumus perubahannya mencakup kontribusi lompatan diskontinu dan sering mengarah ke persamaan diferensial integral
Hedges nyata adalah diskret dan mahal, jadi membatalkan istilah dW yang tak terbatas tidak menghilangkan celah, likuiditas, parameter, atau risiko eksekusi
Gunakan lemma Itô untuk memahami mekanika model, kemudian menyatakan proses, kelancaran, ukuran, dan asumsi perdagangan sebelum menafsirkan harga atau Yunani
Pertanyaan umum
Mengapa lemma Itô memiliki istilah tambahan?
Brownian increments skala dengan √dt, jadi kuadrat mereka adalah dari urutan dt dan kedua-atur Taylor istilah tidak hilang
Apa artinya dW2 = dt?
Ini meringkaskan variasi kuadrat dalam batas stokastis; itu bukan persamaan titik biasa antara bilangan acak dan waktu
Bagaimana lemma Itô mengarah ke BlackScholes?
Ini memperluas perubahan lokal opsi, setelah itu lindung nilai delta membatalkan shock difusi dan no-arbitrage menetapkan pengembalian yang tersisa
Apakah lemma Itô berlaku untuk kenaikan harga?
Versi terus menerus tidak cukup. model lompatan membutuhkan rumus perubahan yang diperpanjang dengan istilah diskontinu eksplisit