Penjelasan Teorema Girsanov dalam Penetapan Harga Opsi
Pelajari cara teorema Girsanov mengubah drift proses Brownian antarukuran probabilitas, alasan volatilitas tetap, dan cara dinamika risk-neutral muncul
Jawaban langsung
Teorema Girsanov menunjukkan bagaimana perubahan ukuran yang absolutely continuous menggeser drift proses Brownian sambil mempertahankan difusinya. Di bawah syarat yang dinyatakan, teorema ini mengubah dinamika fisik menjadi dinamika penetapan harga
Dinamika fisik memuat drift imbal hasil yang diharapkan
Di bawah ukuran fisik P, saham dapat mengikuti dS/S = μdt + σdWᴾ, dengan μ mewakili imbal hasil yang diharapkan menurut model
Drift itu relevan untuk prakiraan dan pemilihan portofolio, tetapi nilai opsi tanpa arbitrase tidak boleh bergantung pada estimasi μ yang arbitrer dalam model difusi lengkap
Berpindah dari probabilitas fisik ke probabilitas penetapan harga memerlukan lebih dari sekadar mengganti satu simbol dengan simbol lain. Perpindahan itu memerlukan transformasi ukuran yang valid
Proses densitas membobot ulang seluruh jalur
Turunan Radon–Nikodym menentukan bagaimana ukuran baru memberi bobot pada peristiwa relatif terhadap ukuran lama hingga setiap waktu
Dalam model Brownian, densitas ini biasanya ditulis sebagai eksponensial stokastik yang dibangun dari proses yang sering dilambangkan λ
Densitas harus tetap positif dan memiliki ekspektasi satu. Jika tidak, ekspresi yang diusulkan mungkin gagal mendefinisikan ukuran probabilitas ekuivalen
Gerak Brownian memperoleh drift kompensasi
Dengan densitas yang valid, Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt menjadi gerak Brownian di bawah ukuran baru Q, menggunakan satu konvensi tanda yang umum
Dengan mensubstitusikan dWᴾ = dWᵠ − λdt, drift setiap proses yang terpapar shock Brownian tersebut bergeser
Koefisien volatilitas yang mengalikan dW tidak menghilang. Perubahan ukuran difusi yang ekuivalen mengubah drift, bukan struktur kovarians seketika
Drift risk-neutral mengikuti pendanaan dan carry
Untuk saham tanpa dividen, pilih λ agar drift Q menjadi suku bunga pendek r. Dengan dividend yield q, drift ex-dividend umumnya r − q
Kemudian aset total return yang didiskontokan menjadi martingale Q, dan payoff yang dapat direplikasi dapat dihargai dengan ekspektasi Q yang didiskontokan
Hasil ini tidak mengatakan saham benar-benar menghasilkan r di dunia nyata. Hasil ini menyatakan bagaimana drift muncul di bawah ukuran penetapan harga yang dipilih
Lambda mewakili harga risiko Brownian
Dalam kasus koefisien konstan yang sederhana, λ = (μ − r) / σ berdasarkan konvensi tanda yang dinyatakan dan tanpa dividen
Dengan beberapa sumber risiko, vektor harga risiko menggeser drift melalui matriks pemuatan volatilitas. Tidak setiap drift yang diinginkan dapat dicapai jika eksposur tidak memiliki rank yang cukup
Dalam pasar tidak lengkap, komponen harga risiko dapat tetap tidak ditentukan oleh aset yang diperdagangkan, sehingga menghasilkan lebih dari satu ukuran martingale yang diperbolehkan
Teorema memerlukan syarat integrabilitas
Novikov, Kazamaki, atau syarat terkait biasanya digunakan untuk memastikan eksponensial stokastik adalah martingale sejati, bukan hanya local martingale
Ekuivalensi juga mempertahankan peristiwa berprobabilitas nol. Transformasi tidak dapat membuat jalur yang benar-benar mustahil menjadi mungkin sambil tetap ekuivalen
Koefisien yang meledak, strict local martingale, horizon tak terbatas, atau regularitas yang lemah dapat membatalkan penerapan rumus secara sembarangan
Lompatan dan implementasi memerlukan perubahan yang lebih luas
Untuk proses dengan lompatan, perubahan ukuran dapat mengubah intensitas lompatan dan distribusi ukuran lompatan, selain drift kontinu
Model penetapan harga yang terkalibrasi menetapkan parameter risk-neutral secara langsung, tetapi menghubungkannya dengan estimasi fisik tetap memerlukan model premi risiko
Nyatakan ukuran awal, ukuran target, densitas, konvensi tanda, numeraire, horizon, dan syarat sebelum menafsirkan dinamika yang ditransformasi
Pertanyaan umum
Apa yang dilakukan teorema Girsanov dalam keuangan?
Teorema ini memberi syarat untuk mengubah ukuran probabilitas sehingga drift Brownian berubah dan harga aset yang dapat diperdagangkan serta didiskontokan dapat menjadi martingale
Apakah teorema Girsanov mengubah volatilitas?
Untuk perubahan difusi Brownian yang ekuivalen, teorema ini menggeser drift sambil mempertahankan koefisien difusi seketika dan kovarians
Apa itu harga risiko pasar?
Itu adalah proses yang dipakai dalam densitas untuk menerjemahkan eksposur risiko menjadi penyesuaian drift antara ukuran fisik dan ukuran penetapan harga
Dapatkah teorema Girsanov digunakan dengan lompatan?
Ya, melalui hasil semimartingale yang lebih luas, tetapi intensitas lompatan dan hukum ukuran lompatan juga dapat berubah dan harus ditentukan