Penjelasan Numeraire dan Perubahan Ukuran

Harga dalam dolar memakai mata uang sebagai unit yang terlihat, sedangkan model penetapan harga aset sering memakai rekening pasar uang sebagai numeraire dinamis

Jika Nₜ adalah numeraire yang dipilih, harga relatif aset X adalah Xₜ/Nₜ. Ini adalah jumlah numeraire yang diperlukan untuk membeli X

Mengubah unit tidak menciptakan nilai. Perubahan ini menyusun ulang payoff ekonomi yang sama dan mengubah ekspektasi bersyarat yang paling nyaman digunakan

Numeraire harus dapat diperdagangkan dan benar-benar positif selama horizon yang relevan agar pembagian terdefinisi dan densitas ukuran tetap valid

Aset yang dapat mencapai nol umumnya tidak dapat menjadi numeraire global tanpa lokalisasi atau ruang keadaan yang lebih sempit

Pendanaan, agunan, dividen, dan reinvestasi harus dimasukkan secara konsisten ketika mendefinisikan nilai total return numeraire

Mulai dari numeraire pasar uang B dan ukuran risk-neutral Qᴮ, numeraire lain N mendefinisikan ukuran baru Qᴺ melalui densitas berdasarkan N/B

Di bawah Qᴺ, setiap harga aset yang dapat diperdagangkan dan memenuhi syarat dibagi N menjadi martingale. Di bawah Qᴮ, harga yang dibagi B memiliki sifat itu

Tidak ada klaim bebas ukuran bahwa harga aset mentah adalah martingale. Numeraire dan ukuran selalu berjalan bersama

Payoff H pada T dapat dinilai sebagai Nₜ dikalikan ekspektasi bersyarat Qᴺ atas H/N_T

Memakai numeraire lain mengubah unit payoff dan bobot probabilitas, sehingga nilai dalam mata uang tetap sama ketika asumsi konsisten

Identitas ini adalah transformasi penetapan harga, bukan prakiraan bahwa probabilitas peristiwa suatu ukuran secara fisik lebih mungkin

Pilih obligasi kupon nol jatuh tempo T, P(t,T), sebagai numeraire. Di bawah T-forward measure, harga forward untuk penyerahan T yang memenuhi syarat menjadi martingale

Hal ini dapat menghapus diskonto stokastik dari payoff yang dibayar pada T dan menyederhanakan cap, swaption, opsi obligasi, serta klaim suku bunga lainnya

Jatuh tempo harus cocok dengan tanggal payoff atau arus kas harus diuraikan secara hati-hati. Satu forward measure tidak menyederhanakan semua tanggal sekaligus

Pilih numeraire yang menyerupai faktor positif dalam payoff. Membagi dengannya dapat mengubah perkalian menjadi indikator yang lebih sederhana atau opsi pertukaran

Dalam Monte Carlo, payoff yang ditransformasi dapat memiliki varians lebih rendah atau menghindari simulasi faktor diskonto terpisah, meskipun perbaikan tidak otomatis terjadi

Kenyamanan numerik tidak dapat memperbaiki model yang tidak konsisten. Ukuran yang ditransformasi tetap memerlukan dinamika drift, kovarians, dan densitas yang benar

Untuk ekuitas, numeraire yang dapat diperdagangkan harus mencakup dividen yang direinvestasikan, bukan hanya harga ex-dividend yang dikuotasi

Dalam valuta asing, rekening pasar uang domestik dan asing secara alami menghasilkan ukuran risk-neutral domestik dan asing

Klaim quanto dan lintas mata uang menunjukkan penyesuaian drift yang dibuat oleh korelasi antara nilai tukar, aset, suku bunga, dan numeraire yang dipilih

Nilai benchmark di bawah dua numeraire dan pastikan hasilnya cocok dalam batas kesalahan analitik atau numerik setelah unit dikonversi kembali

Periksa normalisasi densitas, uji martingale untuk aset relatif, keselarasan tanggal payoff, konvensi total return, dan penyesuaian drift yang disimulasikan

Dokumentasikan numeraire, ukuran terkait, turunan Radon–Nikodym, mata uang settlement, dan semua tanggal arus kas agar hasil dapat direproduksi