Kondisi Novikov dan Kazamaki Dijelaskan

Untuk martingale lokal kontinu M, eksponensial stokastiknya adalah Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)

Z adalah martingale lokal positif dan karena itu supermartingale, sehingga E[Z_t] dapat turun di bawah nilai awalnya, yaitu satu

Jika massa hilang, Z_T tidak dapat berfungsi sebagai densitas probabilitas tanpa mengubah konstruksi yang dimaksud

Densitas pada horizon hingga memerlukan Z_T ≥ 0 dan E[Z_T] = 1, dengan proses densitas diberikan oleh ekspektasi bersyarat

Integrabilitas seragam mengendalikan keluarga tersebut sepanjang horizon dan mendukung perubahan ukuran yang konsisten pada waktu henti

Menuliskan ekspresi eksponensial bukanlah bukti bahwa ia ternormalisasi menjadi satu atau mendefinisikan ukuran ekuivalen

Kriteria Novikov yang umum adalah E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ untuk horizon hingga tetap T

Untuk M = ∫θ_s dW_s, bracketnya adalah ∫₀ᵀθ_s²ds, sehingga uji ini meminta integrabilitas eksponensial dari pergeseran drift kuadrat yang terakumulasi

Kriteria ini nyaman karena memakai variasi kuadrat, tetapi bisa lebih kuat daripada yang diperlukan

Kriteria bertipe Kazamaki mengendalikan exp(M/2), umumnya melalui kondisi submartingale atau integrabilitas seragam pada waktu henti

Kriteria ini dapat membuktikan sifat martingale sejati dalam kasus ketika momen eksponensial bracket Novikov tak hingga

Pernyataan tepatnya bervariasi menurut horizon dan versi teorema, jadi kriteria yang dikutip serta konvensi tandanya harus dinyatakan dengan jelas

Kedua kondisi tersebut adalah uji yang cukup, bukan definisi dan umumnya bukan kondisi perlu

Jika Novikov gagal, Kazamaki, bounded mean oscillation, perhitungan ekspektasi langsung, atau argumen khusus model masih dapat berhasil

Jika semua uji yang nyaman gagal, kita tidak boleh begitu saja mengasumsikan sifat martingale; perilaku martingale lokal ketat masih mungkin terjadi

Perubahan drift Girsanov dan densitas risk-neutral sering menggunakan eksponensial stokastik yang dibangun dari harga risiko pasar

Jika densitasnya lokal ketat dan bukan martingale sejati, ukuran penetapan harga yang diusulkan dapat cacat atau tidak konsisten antarhorizon

Masalah ini juga muncul dalam estimator rasio likelihood, filtering, dualitas utilitas, dan model dengan perilaku mirip gelembung

Kondisi yang berlaku untuk setiap T hingga belum tentu memberikan integrabilitas seragam pada horizon tak hingga

Lokalisasi membuktikan identitas lokal tetapi tidak dengan sendirinya memulihkan ekspektasi yang hilang ketika limit diambil

Eksponensial dengan lompatan memerlukan kriteria positivitas dan integrabilitas yang memperhatikan lompatan; rumus Novikov kontinu tidak boleh disalin tanpa perubahan