Isometri Itô untuk Integral Stochastic dijelaskan
Pelajari bagaimana Isometry Itô mengubah varians dari integral Brownian stokastik menjadi integral waktu biasa dan mengapa itu penting untuk hedging dan simulasi
Jawaban langsung
Isometri Itô mengatakan bahwa kuadrat yang diharapkan dari integral Brownian stokastik yang dapat diintegrasikan dengan persegi sama dengan integral waktu yang diharapkan dari integrand persegi.
Isometri mengukur ketidakpastian kuadrat
Untuk proses H yang dapat diprediksi, identitas pusat adalah E[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]
Integral memiliki rata-rata kondisional nol ketika asumsi-asumsinya berlaku, jadi kedua sisi juga menggambarkan variansnya
Ini bukan aturan untuk perkalian diferensial. Ini adalah identitas L² yang didefinisikan melalui batas perkiraan waktu perdagangan sederhana
Proses langkah menunjukkan mengapa kuadrat menambahkan
Misalkan H sama dengan 2 dari waktu 0 sampai 0,25 dan nol setelahnya. maka integralnya adalah 2 ((W_0.25 - W_0)
Variansi adalah 4 × 0,25 = 1, tepat sesuai dengan integral waktu H2
Untuk beberapa interval yang tidak tumpang tindih, increments Brownian independen membuat istilah silang menghilang dalam harapan.
Kesalahan hedging membutuhkan jalur eksposur
Dalam hedge difusi, eksposur residual H_t terhadap shock Brownian berkumpul sebagai ∫ H_t dW_t
Isometri Itô mengatakan bahwa kesalahan lindung nilai rata-rata kuadrat yang dimodel tergantung pada jalur eksposur penuh, bukan hanya delta akhir atau satu volatilitas rata-rata
Dua hedge dapat memiliki kesalahan terminal yang sama pada satu jalur yang diwujudkan dan sangat berbeda dengan kesalahan kuadrat yang diharapkan karena eksposur intraday mereka berbeda [!TRYMARK] Bandingkan jalur eksposur Sebelum tanggal target atau titik pemeriksaan pendapatan, gunakan titik pemeriksaan untuk merekam tingkat saham, asumsi IV, interval hedge, dan risiko target.
Simulasi menggunakan anggaran varian yang sama
Inkrement Monte Carlo biasanya memiliki bentuk H_t√Δt Z, di mana Z memiliki nilai nol dan varians satu
Variansi kondisinya adalah H_t²Δt. Menghitung istilah tersebut adalah kontras diskrit isometri
Jika simulasi mengubah grid waktu, bandingkan anggaran H² terintegrasi dan kesalahan pengambilan sampel daripada berasumsi bahwa lebih banyak jalur saja memvalidasi hasil lindung nilai
Korrelasi, lompatan, dan input buruk tetap terpisah
Dengan beberapa driver Brownian, varians termasuk matriks covariance dan istilah eksposur silang
Risiko lompatan, rebalancing diskrit, biaya transaksi, penawaran lama, dan kesalahan parameter tidak dihapus oleh identitas. Mereka membutuhkan istilah model mereka sendiri atau kasus stres
Teorema ini memeriksa komponen difusi yang dapat diintegrasikan persegi.
Pertanyaan umum
Apa yang dikatakan Isometry Itô dalam istilah sederhana?
Itu mengatakan bahwa varians yang dibuat oleh banyak kejut Brownian kecil dapat dihitung dengan menambahkan ukuran persegi paparan dari waktu ke waktu
Apakah Isometry Itô berarti lindung memiliki risiko nol?
Tidak. Ini hanya menggambarkan bagian Brownian yang terintegrasi persegi di bawah model yang dinyatakan.
Mengapa perlu dapat diprediksi?
Integrand harus dipilih menggunakan informasi yang tersedia sebelum Brownian increment. jika tidak, itu bisa menggunakan kebisingan masa depan dan integral stochastic tidak akan mewakili paparan yang dapat diterima