Realized GARCH: Memodelkan Imbal Hasil dan Ukuran Volatilitas Secara Bersama

Model ARCH dan GARCH menyimpulkan perubahan varians dari rangkaian imbal hasil. Engle memperkenalkan ARCH, lalu Bollerslev mengembangkan bentuk umumnya (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Satu imbal hasil hanya memberi sinyal yang bising tentang banyaknya pergerakan dalam suatu periode: imbal hasil kecil antarpenutupan tidak berarti sesi itu tenang, sedangkan satu imbal hasil besar tidak menunjukkan jalur pergerakannya. Harga intrahari dapat memberi ukuran terealisasi terpisah, misalnya varians terealisasi, yang memuat lebih banyak informasi tentang pergerakan selama sesi.

Realized GARCH memasukkan ukuran itu ke dalam dinamika varians. Dalam spesifikasi dasar, varians kondisional dan ukuran terealisasi periode sebelumnya sama-sama membantu memperbarui varians kondisional hari ini. Model ini juga memiliki persamaan untuk ukuran terealisasi itu sendiri. Persamaan tambahan ini penting: persamaan tersebut menggambarkan hubungan ukuran dengan varians laten dan guncangan imbal hasil, alih-alih membiarkan ukuran itu sebagai masukan eksternal yang tidak dijelaskan.

Makalah asli melaporkan kecocokan empiris yang lebih baik daripada GARCH berbasis imbal hasil harian saja pada sampel saham Dow Jones dan satu dana indeks yang diperdagangkan di bursa. Itu hasil khusus sampel, bukan jaminan bahwa Realized GARCH akan meramalkan setiap aset atau periode dengan lebih baik. Untuk model dasar yang hanya memakai imbal hasil, lihat panduan GARCH.

Misalkan \(r_t\) adalah imbal hasil periode \(t\), setelah dikurangi rata-rata kondisional jika model menyertakannya. Misalkan \(h_t = \operatorname{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1})\) adalah varians kondisional yang diketahui pada awal periode itu, dan \(x_t\) adalah ukuran terealisasi positif yang diamati selama atau pada akhir periode \(t\). Contohnya, \(x_t\) dapat berupa jumlah kuadrat imbal hasil intrahari, dengan satuan kuadrat imbal hasil yang sama seperti \(h_t\).

Urutan waktunya penting. Prakiraan untuk \(h_t\) menggunakan informasi yang tersedia sebelum periode \(t\). Setelah \(r_t\) dan \(x_t\) diamati, model memperbarui prakiraan varians berikutnya, \(h_{t+1}\). Jangan gunakan \(x_t\) untuk mengklaim bahwa prakiraan \(h_t\) sudah tersedia sebelum periode \(t\) berlangsung.

Realized GARCH adalah model dinamis untuk imbal hasil dan proksi volatilitas yang diukur. Model ini berbeda dari regresi MIDAS, yang memakai fungsi bobot lag terstruktur untuk menghubungkan data dengan frekuensi berbeda. Keduanya dapat memakai informasi intrahari, tetapi persamaan, sasaran prakiraan, dan waktunya perlu dikenali sebelum dibandingkan.

Model Realized GARCH\(1,1\) yang umum memiliki persamaan imbal hasil, persamaan varians, dan persamaan pengukuran:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Di sini \(z_t\) adalah inovasi imbal hasil terstandarisasi, \(u_t\) adalah galat pengukuran, dan \(\tau(z_t)\) memungkinkan ukuran teramati bergantung pada guncangan imbal hasil. Persamaan pertama mengalikan guncangan bervarians satu dengan simpangan baku kondisional. Persamaan kedua memperbarui log varians menggunakan log varians dan log ukuran terealisasi periode sebelumnya. Persamaan ketiga menghubungkan log ukuran teramati dengan log varians laten saat ini, guncangan imbal hasil, dan inovasi pengukuran.

Bentuk log memudahkan representasi \(h_t\) dan \(x_t\) yang positif pada skala log tanpa batas; mengeksponensialkan prakiraan varians menghasilkan nilai positif. Karena itu, intersep \(\omega\) adalah intersep untuk log varians, bukan varians jangka panjang itu sendiri. Dalam model dasar, parameter diestimasi bersama, bukan dibaca sebagai ukuran persistensi yang berdiri sendiri.

Dengan mensubstitusikan persamaan pengukuran pada \(t−1\) ke dalam pembaruan varians, terlihat bagaimana ukuran terealisasi memberi umpan balik ke log varians:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

Untuk spesifikasi \(1,1\) ini, persistensi log varians diringkas oleh \(β + γφ\), bukan hanya \(β\). Hubungan pengukuran menambah umpan balik karena varians sebelumnya yang lebih tinggi berkaitan dengan ukuran terealisasi yang lebih tinggi, lalu ukuran itu masuk ke pembaruan berikutnya. Aljabar ini membantu menafsirkan koefisien estimasi, tetapi bukan bukti stasioneritas untuk setiap perluasan Realized GARCH; inferensi harus mengikuti batasan untuk spesifikasi yang benar-benar diestimasi.

Hansen, Huang, dan Shek memperkenalkan bentuk linear dan log-linear dari model gabungan ini serta menjelaskan struktur tiga persamaannya (2012). Orde lag, ukuran terealisasi, rata-rata kondisional, dan asumsi inovasi yang tepat harus mengikuti spesifikasi yang diestimasi.

Persamaan pengukuran membantu menjelaskan mengapa ukuran terealisasi dapat bergerak bersama varians laten maupun guncangan imbal hasil. Fungsi leverage yang umum adalah

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

Komponen linear dan kuadrat yang dipusatkan dapat mewakili hubungan asimetris antara guncangan imbal hasil dan ukuran terealisasi. Bentuknya ditentukan oleh koefisien; rumus ini saja tidak membuktikan bahwa imbal hasil negatif menyebabkan volatilitas masa depan.

Dalam formulasi dasar makalah, \(z_t\) dan \(u_t\) dimodelkan sebagai inovasi terpisah; \(z_t\) distandarisasi dan kedua inovasi diasumsikan saling independen. Ini spesifikasi statistik yang memudahkan estimasi, bukan bukti bahwa imbal hasil pasar atau galat pengukuran mengikuti distribusi tertentu di setiap sampel. Kuasi-likelihood Gaussian dapat dipakai untuk estimasi tanpa menyatakan bahwa normalitas adalah fakta.

Persamaan ini juga membedakan Realized GARCH dari GARCH-X. GARCH-X dapat memasukkan ukuran teramati ke pembaruan varians tetapi tidak menjelaskan dinamikanya sendiri. Realized GARCH juga memodelkan ukuran terealisasi, sehingga mendukung prakiraan lebih dari satu langkah ketika ukuran masa depan belum diamati. Model ini menjelaskan hubungan statistik bersama; ukuran terealisasi bukan penyebab eksternal.

Misalkan model log-linear terestimasi memiliki \(ω=-0.7824\), \(\beta=0.75\), dan \(\gamma=0.15\). Pada akhir periode \(t\), anggap varians kondisional saat ini adalah \(h_t=0.0004\) dan ukuran terealisasi yang diamati adalah \(x_t=0.0009\). Semua nilai bersifat hipotetis, positif, dan dinyatakan pada skala varians imbal hasil desimal harian yang sama.

Gunakan persamaan varians untuk memperbarui prakiraan periode \(t+1\):

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

Simpangan baku kondisionalnya adalah \(\sqrt{0.0004517} \approx 0.02125\), atau sekitar 2,13% untuk periode imbal hasil yang dinyatakan. Ukuran terealisasi memengaruhi prakiraan varians berikutnya melalui koefisien estimasinya. Perhitungan ini tidak memperbarui koefisien dan tidak memakai persamaan pengukuran untuk menyatakan bahwa \(x_t\) sama dengan \(h_t\).

Contoh ini hanya menunjukkan aritmetika. Tidak ada ketidakpastian parameter, galat estimasi, atau observasi di luar sampel, sehingga contoh ini tidak memberi tahu signifikansi statistik atau apakah model mengungguli tolok ukur. <!-- learn:illustration -->

Estimasi memakai observasi imbal hasil dan ukuran terealisasi yang disejajarkan waktunya. Likelihood atau kuasi-likelihood menggabungkan persamaan imbal hasil dengan persamaan pengukuran. Karena itu, perubahan asumsi distribusi atau struktur ketergantungan inovasi dapat mengubah parameter hasil estimasi. Nyatakan metode estimasi, asumsi inovasi, perlakuan rata-rata kondisional, ukuran terealisasi, dan aturan pembersihan data; jangan hanya menyajikan rekursi varians tanpa model pengukurannya.

Setelah setiap periode berakhir, model dapat memakai imbal hasil dan ukuran terealisasi baru untuk memperbarui keadaan serta menghasilkan prakiraan varians berikutnya. Untuk prakiraan beberapa langkah, nilai \(x\) masa depan belum diketahui. Spesifikasi Realized GARCH yang lengkap mencakup dinamika ukuran terealisasi, sehingga prakiraan harus memperhitungkan distribusi atau nilai harapan masa depannya, bukan memasukkan nilai terealisasi masa depan dari sampel pengujian.

Evaluasi membutuhkan sasaran yang cocok dengan prakiraan, misalnya varians imbal hasil kondisional periode berikutnya atau ukuran terealisasi untuk interval yang sama. Samakan sasaran, proksi, satuan, horizon, dan tanggal evaluasi. Likelihood dalam sampel membandingkan kecocokan model, tetapi tidak menggantikan uji prakiraan kronologis.

Simpan setiap prakiraan pada waktu ketika prakiraan itu seharusnya tersedia, estimasi ulang hanya dengan informasi yang tersedia pada saat itu, lalu bandingkan dengan tolok ukur yang ditetapkan sebelumnya pada sampel bersama. Pilih fungsi loss sebelum meninjau hasil dan laporkan selisih loss berpasangan beserta estimasi ketidakpastian yang memperhitungkan ketergantungan bila perlu. Panduan QLIKE dan galat kuadrat menjelaskan pengaruh sifat proksi dan pilihan loss terhadap perbandingan.

Kegunaan model bergantung pada ukuran dan interval waktu yang dipakai. Ukuran terealisasi dari harga intrahari mungkin mengabaikan pergerakan semalam, sementara \(r_t\) adalah imbal hasil antarpenutupan. Makalah asli secara eksplisit mengizinkan jendela ukuran terealisasi yang lebih pendek daripada interval imbal hasil; persamaan pengukuran tidak harus memaksa \(x_t\) menjadi estimasi tak bias dari \(h_t\). Fleksibilitas itu tidak menjadikan perbedaan jendela tidak berbahaya: interpretasi \(\phi\), sasaran prakiraan, dan perbandingan tetap bergantung pada intervalnya.

Makalah tersebut memberi contoh konkret: ukuran yang dibuat dari sekitar \(6.5\) jam perdagangan dipasangkan dengan varians kondisional untuk imbal hasil antarpenutupan selama \(24\) jam. Dalam pengaturan ini, penulis memperkirakan \(φ < 1\), karena ukuran intrahari hanya mencakup sebagian dari interval imbal hasil penuh. Karena itu, nilai \(φ\) hasil estimasi bergantung pada ukuran, sesi, dan definisi imbal hasil; nilai itu bukan faktor kalibrasi universal yang dapat dipindahkan tanpa perubahan ke aset atau rancangan sampling lain.

Data frekuensi tinggi juga dapat mengandung bid–ask bounce, perdagangan asinkron, diskretisasi harga, kuotasi usang, dan kesalahan pencatatan. Panduan volatilitas terealisasi dua skala membahas pilihan konstruksi. Hansen dan Lunde menunjukkan bahwa noise mikrostruktur pasar dapat berdampak besar pada pengukuran varians terealisasi (2006). Proksi yang berbeda dapat mengubah kecocokan, prakiraan, dan estimasi leverage.

Karena model log-linear memakai \(\log x_t\), ukuran yang dipilih harus benar-benar positif. Jika data dapat bernilai nol atau negatif, transformasi, filter, atau batas bawah akan mengubah model dan perlu dijelaskan serta diungkapkan. Periksa apakah ukuran memasukkan lompatan, sesi yang dicakup, penanganan bar yang hilang, dan kecocokan satuannya dengan varians imbal hasil. Lebih banyak observasi intrahari tidak otomatis menghilangkan galat pengukuran.

GARCH biasa memakai imbal hasil atau inovasi kuadrat terdahulu dan varians tertinggal. Realized GARCH menambahkan ukuran terealisasi ke dinamika varians serta memodelkannya melalui persamaan yang terkait dengan varians laten dan guncangan imbal hasil. GARCH-X biasanya memperlakukan ukuran tambahan sebagai masukan eksternal. Regresi MIDAS memakai kurva bobot lag berparameter lintas frekuensi; GARCH-MIDAS adalah hibrida terkait dengan persamaan yang perlu dibaca terpisah. Nama-nama ini tidak dapat dipertukarkan.

Model meramalkan varians kondisional atau ukuran terealisasi yang didefinisikan berdasarkan asumsi tertentu. Model ini tidak meramalkan arah imbal hasil, membuktikan bahwa ukuran intrahari menyebabkan varians esok hari, atau menetapkan adanya strategi yang menguntungkan. Likelihood dalam sampel yang kuat tidak menjamin prakiraan masa depan yang lebih baik. Kesimpulan perdagangan memerlukan sinyal yang dirumuskan terpisah serta evaluasi setelah biaya yang mencakup spread, biaya, dampak pasar, pendanaan, dan batas risiko.

Untuk laporan yang dapat direproduksi, jelaskan aset dan sampel, definisi imbal hasil dan rata-rata kondisional, konstruksi ukuran terealisasi dan jendela sesi, persamaan model dan orde lag, asumsi inovasi, jendela estimasi, asal serta horizon prakiraan, tolok ukur, loss penilaian, dan metode ketidakpastian. Laporkan sensitivitas terhadap pilihan ukuran terealisasi yang masuk akal dan ungkapkan pengecualian data atau penyesuaian agar nilainya positif.