QLIKE vs Galat Kuadrat untuk Prakiraan Volatilitas: Proksi Bising

Model volatilitas memperkirakan seberapa besar penyebaran imbal hasil mendatang, bukan apakah imbal hasil akan positif atau negatif. Untuk mengevaluasinya, tetapkan dahulu targetnya, misalnya varians kondisional imbal hasil esok hari yang diukur dalam basis poin kuadrat. Prakiraan simpangan baku, prakiraan varians, dan estimasi varians terealisasi intrahari adalah besaran yang berkaitan, tetapi tidak dapat saling menggantikan tanpa transformasi dan horizon yang dinyatakan.

Pertanyaan ini terpisah dari cara model menghasilkan prakiraannya. Panduan GARCH menjelaskan salah satu cara memperbarui varians kondisional dari imbal hasil terdahulu. Panduan ini dimulai setelah dua model atau lebih menghasilkan prakiraan, lalu membahas cara menilainya terhadap ukuran tidak sempurna dari varians yang kemudian terjadi.

“Prakiraan terbaik” tidak memiliki satu arti sebelum target, sampel evaluasi, dan fungsi kerugian ditetapkan. Model dapat berada di urutan pertama menurut satu kerugian dan kedua menurut kerugian lain karena setiap kerugian memberi biaya berbeda pada kesalahan prakiraan

Misalkan vₜ adalah varians kondisional target imbal hasil yang tidak teramati, hₜ adalah prakiraan yang dibuat dengan informasi yang tersedia sebelum imbal hasil tersebut, dan xₜ adalah proksi teramati untuk evaluasi. Proksi yang umum adalah kuadrat imbal hasil, tetapi proksi ini hanya tidak bias secara kondisional untuk varians jika rata-rata kondisionalnya nol. Jika rata-rata kondisional tidak nol, kuadrat imbal hasil mentah mengestimasi momen kedua kondisional, bukan varians kondisional. Proksi dapat dibentuk dari imbal hasil setelah rata-rata kondisional dihilangkan. Varians terealisasi yang disusun dari imbal hasil intrahari dapat memberikan ukuran variasi sepanjang sesi yang lebih informatif, tetapi tetap mengukur suatu interval dan bergantung pada aturan pengambilan sampel serta data harga.

Menghilangkan rata-rata tidak otomatis menghapus bias proksi ketika rata-rata kondisional diestimasi. Jika mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁), dan rata-rata estimasi m̂ₜ ditetapkan dengan informasi yang tersedia pada origin prakiraan, maka E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Jadi, setiap kesalahan estimasi rata-rata yang dapat diprakirakan menambahkan suku nonnegatif ke proksi. Jelaskan cara mengestimasi rata-rata dan apakah proksi menargetkan varians atau momen kedua sebelum menggunakan hasil ketakbiasan kondisional.

Selaraskan xₜ dan hₜ untuk aset, definisi imbal hasil, jendela waktu, horizon, dan satuan yang sama. Jika xₜ diukur dalam bp², hₜ juga harus dalam bp²; skor galat kuadrat lalu berada dalam bp⁴. Prakiraan harian dari penutupan ke penutupan tidak seharusnya dinilai terhadap ukuran terealisasi yang menghilangkan interval semalam, kecuali memang itulah target yang dimaksud.

Simpan nilai proksi dan semua prakiraan untuk tanggal evaluasi yang sama. Jika satu model tidak memiliki prakiraan untuk suatu tanggal, tetapkan sampel bersama atau aturan data hilang yang dapat dibenarkan sebelumnya. Membandingkan rata-rata dari tanggal berbeda dapat mencampur kinerja model dengan perbedaan kondisi pasar yang dihadapi masing-masing model

Untuk proksi varians nonnegatif xₜ dan prakiraan varians positif hₜ, kerugian galat kuadrat adalah

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

Kerugian QLIKE adalah

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Skor yang lebih rendah berarti hasil yang lebih baik. Jika xₜ positif, QLIKE juga sering ditulis dalam bentuk rasio, xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. Kedua rumus berbeda sebesar suku yang bergantung pada proksi teramati, tetapi tidak pada prakiraan, sehingga menghasilkan peringkat yang sama pada sampel bersama. Bentuk log(hₜ) juga tetap terdefinisi saat xₜ nol, asalkan hₜ positif. Patton menjelaskan definisi kerugian varians ini dan mengkaji perilakunya dengan proksi yang tidak sempurna (Patton, 2011).

QLIKE berhubungan dengan skor kuasi-likelihood Gaussian untuk prakiraan varians (Hansen dan Lunde, 2005). Hubungan itu tidak membuktikan bahwa imbal hasil berdistribusi Gaussian, dan skor rendah tidak membenarkan asumsi distribusi model. Galat kuadrat mengukur selisih absolut antara proksi dan prakiraan, lalu menguadratkannya. Pilih skor yang sesuai dengan tujuan perbandingan dan asumsi proksi

Kerugian galat kuadrat memiliki satuan varians kuadrat dan meningkat cepat saat proksi dan prakiraan berjauhan. Karena itu, beberapa nilai proksi yang sangat besar dapat mendominasi rata-rata. Perilaku ini dapat sesuai bila kesalahan absolut besar dalam satuan varians memang perlu diberi bobot jauh lebih besar, tetapi hasilnya menjadi peka terhadap pengamatan ekstrem.

Mengalikan xₜ dan hₜ dengan konstanta konversi satuan positif yang sama, c, menambahkan log(c) pada log(hₜ) + xₜ/hₜ. Tambahan ini sama untuk semua prakiraan yang dinilai pada sampel proksi yang sama, sehingga peringkatnya tidak berubah; nilai absolut suku log tetap bergantung pada satuan yang dipilih. QLIKE merespons rasio prakiraan terhadap proksi melalui xₜ/hₜ dan skala hₜ melalui log(hₜ). Jika prakiraan jauh terlalu kecil dibandingkan proksi yang besar, suku rasio meningkat tajam. Overestimasi juga menambah biaya seiring log(hₜ) naik, tetapi dengan laju lebih lambat untuk galat proporsional yang sebanding. QLIKE bukan kerugian yang kebal pencilan: proksi ekstrem tetap berkontribusi melalui xₜ/hₜ.

Tidak ada skor yang unggul untuk setiap keputusan. Galat kuadrat memberi bobot lebih besar pada kesalahan absolut dalam satuan varians, sedangkan QLIKE memiliki profil galat relatif yang berbeda. Hasil ketahanan proksi Patton bukan klaim bahwa kedua kerugian memberi peringkat prakiraan yang sama atau bahwa salah satunya kebal terhadap pencilan

Misalkan proksi varians teramati adalah x = [1, 4] bp². Model A memprakirakan hᴬ = [1, 1] bp², sedangkan Model B memprakirakan hᴮ = [4, 2] bp². Angka-angka ini bersifat hipotetis dan dipilih untuk menunjukkan bagaimana kerugian dapat mengubah urutan peringkat.

MSE mengunggulkan Model A: skor rata-ratanya 4.5 bp⁴ dibandingkan 6.5 bp⁴ untuk Model B. QLIKE mengunggulkan Model B: skor rata-ratanya sekitar 2.165 dibandingkan 2.5 untuk A. Dua baris ini hanya menunjukkan perhitungannya. Jumlahnya terlalu sedikit untuk mengestimasi ketidakpastian, membuktikan bahwa suatu prakiraan lebih baik, atau menyimpulkan apa pun tentang strategi perdagangan <!-- learn:illustration -->

Proksi volatilitas dapat mengandung noise sekaligus tidak bias secara kondisional. Misalkan E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, dengan Fₜ₋₁ sebagai informasi yang tersedia saat prakiraan dibuat. Kerugian kuadrat ekspektasian untuk prakiraan hₜ yang dibentuk dari informasi itu adalah

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Suku varians tidak bergantung pada prakiraan yang dinilai. Suku itu menaikkan MSE ekspektasian semua prakiraan dengan jumlah yang sama, sehingga saling menghapus saat kerugian ekspektasian dibandingkan. Untuk QLIKE, ketidakbiasan kondisional menghasilkan

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Itulah skor yang diperoleh bila varians laten digunakan sebagai pengganti proksi. Dalam kondisi ini, masing-masing kerugian mempertahankan peringkat ekspektasian prakiraan varians yang bersaing relatif terhadap target laten. Patton (2011) menyebutnya ketahanan peringkat terhadap proksi; istilah ini menyangkut noise pada peringkat ekspektasian, bukan ketahanan terhadap pencilan.

Hasil tersebut mengasumsikan himpunan informasi kondisional yang sama, proksi yang tidak bias secara kondisional, prakiraan positif untuk QLIKE, dan kerugian ekspektasian yang berhingga. Hasil ini tidak menyatakan bahwa MSE dan QLIKE akan memberi peringkat model yang sama. Dalam contoh dua periode, kedua kerugian dihitung dari pengamatan bising yang sama, tetapi masing-masing memberi bobot berbeda pada kesalahan prakiraan

Invariansi peringkat ekspektasian tidak menjamin bahwa setiap sampel terealisasi akan menghasilkan peringkat yang sama dengan peringkat varians laten. Noise proksi menambah variasi pada kerugian teramati dan dapat mengurangi kekuatan uji perbandingan prakiraan. Periode evaluasi yang singkat dapat memberi peringkat berbeda hanya karena beberapa pengamatan proksi kebetulan sangat tinggi atau rendah, meskipun ketidakbiasan kondisional berlaku secara rata-rata.

Jaminan itu juga gagal jika proksi bias secara kondisional terhadap target yang dinyatakan. Varians terealisasi frekuensi tinggi dapat dipengaruhi pantulan bid–ask, kuotasi usang atau tidak sinkron, frekuensi sampling, serta imbal hasil semalam yang dihilangkan. Proksi yang menargetkan varians terintegrasi intrahari mungkin bukan ukuran tidak bias untuk varians kondisional dari penutupan ke penutupan. Panduan perhitungan volatilitas terealisasi membahas pilihan konstruksi, sedangkan panduan varians terealisasi dua skala menjelaskan satu estimator yang dirancang untuk menangani sebagian noise mikrostruktur pada data frekuensi tinggi. Hansen dan Lunde (2006) mendokumentasikan bagaimana noise mikrostruktur pasar dapat memengaruhi pengukuran varians terealisasi (DOI Hansen dan Lunde, 2006).

“Robust” memiliki arti yang sempit di sini: jika proksi tidak bias secara kondisional, peringkat ekspektasian dipertahankan. Artinya bukan skor sampel mengabaikan pencilan, setiap ukuran volatilitas terealisasi tidak bias, atau perbandingan terlindung dari ketidakcocokan target. Nyatakan apa yang diukur proksi dan asumsi yang menghubungkannya dengan vₜ

Untuk dua prakiraan hᴬₜ dan hᴮₜ yang ditetapkan pada origin yang sama, selisih MSE ekspektasian adalah E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². Dengan kondisi proksi yang sama, selisih QLIKE ekspektasian adalah log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Kedua ekspresi ini menunjukkan apa yang dihilangkan oleh ketahanan peringkat terhadap proksi: noise tambahan dalam skor ekspektasian proksi. Perbandingan prakiraannya tetap berbeda karena MSE dan QLIKE memberi biaya yang berbeda pada kesalahan.

Setelah memilih skor, bentuk selisih kerugian berpasangan untuk setiap asal prakiraan yang sama. Dengan dₜ = L_A,ₜ − L_B, rata-rata positif berarti kerugian B lebih rendah. Uji Diebold–Mariano mengevaluasi apakah rata-rata selisih tersebut sama dengan nol dengan menggunakan deret waktu selisih berpasangan; uji ini tidak memilih antara QLIKE dan MSE atau menetapkan target yang seharusnya diperhatikan. Panduan Diebold–Mariano menjelaskan kerangka inferensi yang lebih luas.

Jika horizon prakiraan beberapa periode saling tumpang tindih, atau selisih skor berkorelasi serial karena alasan lain, gunakan galat baku yang memperhitungkan dependensi, misalnya estimasi HAC yang sesuai. Newey dan West (1987) memperkenalkan estimator kovarians HAC semidefinit positif (Newey–West, 1987). Laporkan horizon, asal evaluasi, tanda selisih kerugian, metode kovarians, kernel, dan bandwidth jika relevan. Nilai p kecil dari suatu uji tidak memperbaiki proksi yang bias atau tidak cocok dengan target

Gunakan desain kronologis di luar sampel dan simpan prediksi yang benar-benar akan dibuat setiap model pada setiap asal. Tetapkan target, konstruksi proksi, horizon, satuan, sampel bersama, dan kerugian sebelum memeriksa model mana yang mendapat skor terbaik. Catat jendela estimasi, aturan estimasi ulang, observasi yang hilang, serta apakah periode evaluasi berulang kali digunakan untuk menyetel model. Jika MSE dan QLIKE sama-sama dibandingkan tetapi hanya pemenangnya yang dilaporkan, ungkapkan pilihan itu alih-alih menyajikannya sebagai satu uji yang telah ditetapkan sebelumnya.

Laporkan kerugian rata-rata tiap model, selisih berpasangan, ukuran sampel, definisi proksi, dan metode inferensi. QLIKE mensyaratkan hₜ positif; tentukan batas bawah prakiraan sebelum evaluasi karena batas itu dapat mengubah skor. Periksa sensitivitas terhadap pilihan proksi dan sampling yang dapat dibenarkan, sambil menyatakan bahwa mencoba banyak pilihan juga menimbulkan masalah seleksi.

Kerugian volatilitas yang lebih rendah mengukur kinerja menurut skor dan proksi yang dipilih. Hal itu tidak membuktikan bahwa prediktor menyebabkan volatilitas, imbal hasil berdistribusi normal, atau strategi yang menggunakan prakiraan akan menghasilkan laba setelah spread, biaya, slippage, pembiayaan, dan batas risiko. Nilai kemampuan prakiraan dan hasil perdagangan sebagai klaim yang terpisah