已實現半方差：分別衡量上升與下跌波幅

設 \(r_i\) 為固定時段內觀察到的日內對數收益。已實現方差是收益平方總和，\(RV=\sum_i r_i^2\)。平方會令升幅和跌幅都變成正值，並令較大變動佔更高比重。此統計量量度時段內累積的變動，但不指出變動來自升市還是跌市。

已實現半方差在平方前保留收益正負號。正向部分加總大於零的收益平方；負向部分加總小於零的收益平方。使用相同觀察值及定義時，兩者之和等於已實現方差。零收益對任何一邊都沒有貢獻。這是計算上的恆等式，並非兩邊各自屬獨立風險來源的證據。

當研究問題關乎方向性變動時，這種拆分很有用，例如過去負收益的變動是否比過去正收益的變動帶有不同的未來波幅資訊。Barndorff-Nielsen、Kinnebrock 和 Shephard 提出已實現半方差作為下行變動的高頻量度。他們的工作論文探討這個量度與二次變差及負向跳躍的關係。

對收益 \(r_1,\ldots,r_n\)，定義如下：

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

其中 \(\mathbf{1}(\cdot)\) 在條件成立時等於一，否則等於零。因此：

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

不同論文可能採用不同標籤或上標，報告應說明哪一項代表正收益，哪一項代表負收益。以上公式使用相對零點未中心化的收益：不會扣除樣本平均數、目標收益或無風險利率。以目標或平均數為中心計算的樣本半方差是另一種統計量。

單位是收益單位的平方。如果收益以基點表示，每個部分的單位是 \(\text{bp}^2\)；如果使用小數對數收益，單位則是小數收益平方。由百分比收益改用基點時，平方量度的數值會乘以10,000，因此數值旁必須註明單位。

假設某個虛構時段有以下六個基點收益：

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

正收益的貢獻是 \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\)。負收益的貢獻是 \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\)。零收益沒有貢獻。因此已實現方差為

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

在這個小例子中，負向部分佔 \(21/34\)，約61.8%，正向部分約38.2%。這些只是虛構總和的比例，不是未來虧損概率，也不是長期穩定不對稱性的估算。六個收益不足以作統計推論；這裏只用算式核對定義。

已實現波幅指南介紹未拆分的收益平方總和。Bipower variation 指南處理另一問題：在可能出現罕見跳躍時，如何估算連續變動。可以同時研究方向性半方差與抗跳躍變動量度，但兩者不可互相取代。

若潛在對數價格遵循連續半鞅，並在相關正則條件下逐漸提高取樣頻率，正、負收益半方差會各自收斂至連續二次變差的一半。在此情況下，即使潛在連續變動沒有持續的方向拆分，有限樣本中的兩個總量仍可能不同；取樣隨機性亦有影響。

若出現跳躍，其幅度平方會按正負號分配到正向或負向部分。這保留了整體已實現方差會捨棄的資訊，但不代表每個負收益都是跳躍，亦不代表每個正收益都無害。大型連續變動和跳躍都可以產生較大的平方收益。正負號只分類觀察到的增量，不會識別其經濟成因。

以下概念圖將正、負增量分成兩組視覺元素。它不是資料圖表或檢定結果，亦不表示底層過程存在持續方向偏差。

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

已實現半方差可作為預測未來波幅模型中的獨立預測變數。Patton 和 Sheppard 在標普500指數及個別股票研究中發現，在其樣本和模型設定下，過去負收益變動與未來波幅的關係，比正收益變動更強。這是該研究設計下的實證結果，並非適用於所有市場的定律，也不保證新策略有良好預測能力。

要提出預測能力的主張，須先定義目標和期間、選擇合適基準，並作樣本外評估。某一天 \(RS^-\) 與 \(RS^+\) 的差距只是描述性結果，不能證明預測能力。回歸亦可能要處理波幅持續性、重疊期間、參數不確定性及資料選擇。預測誤差應使用符合決策需要的損失函數評估。

作為多變量延伸，Bollerslev、Li、Patton 和 Quaedvlieg 提出已實現半共變異數，按成對高頻收益的正負號拆分已實現共變異數。他們的Econometrica 論文說明，同號及混合符號部分為何可能帶有不同資訊。單變量正負拆分較簡單，不應被描述為完整的共變異數或投資組合風險分解。

「下行半方差」一詞有多種定義。本文的已實現量度會將低於零的高頻收益平方後加總。以目標為基礎的下行統計量則會將低於指定門檻的收益平方，門檻通常是目標收益或最低可接受收益。樣本計算亦可能以平均數為中心。同一收益序列也可因定義不同而回答不同問題、產生不同數值。

兩種已實現半方差都不是 Value-at-Risk 或 Expected Shortfall。VaR 描述指定虧損分佈及期間的分位數；Expected Shortfall 按明確約定概括超出分位數的虧損。日內負收益平方總和沒有這些含義。它亦不是完整的跌幅量度，因為跌幅取決於收益的次序和路徑。

如果圖表或模型將 \(RS^-\) 稱為「下行風險」，請在旁邊直接定義。說明收益是相對零點還是目標計算、取樣頻率，以及該數值是區間統計量、預測輸入還是投資組合量度。GARCH 波幅指南討論條件方差動態；已實現半方差則提供可考慮作為輸入的方向性高頻量度。

正負拆分取決於觀察到的收益序列。提高取樣頻率可能帶來買賣價反彈、價格離散、過時報價及時間戳影響。若價格 proxy 或取樣網格改變，已記錄的小幅價格變動可能轉為相反符號。因此微觀結構雜訊會同時改變平方幅度，以及收益被分到哪一邊。對選定序列而言，\(RV=RS^++RS^-\) 仍然成立，但這不代表取樣設計一定有效。

要進行穩健比較，請記錄價格欄位、取樣間隔、交易時段邊界、零收益處理、離群值規則，以及不同資產的收益是否同步。並檢查在合理取樣選擇下的敏感度。如果核心問題是識別跳躍或抵抗雜訊，應使用為該目標設計的估計量或檢定，而非把正負拆分當作修正。Two-scale realized volatility 指南介紹另一種雜訊修正方法。

統計推論亦需要取樣分佈或合適的重新取樣設計。正、負部分來自同一條路徑，因此可能互相依賴。重疊視窗會增加依賴性。信賴區間或預測比較應反映這些特性；單靠比較兩個點估計，不能檢驗其預測角色是否不同。

清晰的報告會列出資產或投資組合收益序列、觀察時段、收益定義、取樣網格及單位。報告應列出 \(RS^+\) 和 \(RS^-\) 公式，確認兩者總和能還原已實現方差，並解釋零值和缺漏觀察的處理方式。若量度用於預測模型，亦要回報預測期間、基準、評估期和損失函數。

若未有說明加總假設，不要直接把已實現半方差轉換成年化波幅。按選定約定，可以把每日半方差相加成描述性的全年總量，但其平方根不會自動成為分佈已知的下行標準差。年化不能修正有偏價格輸入、取樣稀疏或選擇效應。

主要用途是有紀律地量度：保留每個觀察收益的方向，同時採用已實現變動的平方權重。結果可能顯示值得檢驗的模式，但單靠它無法識別成因、量度尾部概率，或把歷史不對稱轉化為交易訊號。