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已實現波幅計算：回報、窗口與年化
掌握已實現波幅公式，理解對數回報、平均值及年化規則為何重要，以及抽樣選擇如何改變與引伸波幅的比較
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
已實現波幅是從已發生的價格變動計算所得的年化標準差。常見的收市至收市版本採用每日對數回報、清楚的平均值規則及√252年化，但不存在適合所有目的的單一慣例，窗口與抽樣亦須公開
先固定價格序列
選定相關資產、觀察時點、時區，以及經調整或未調整價格。若拆股與分派的處理不一致，便會製造虛假回報
每個收市回報需要兩個連續有效收市價。缺失日期、假期、陳舊價格、停牌及不同交易時段的截止規則都應交代
把價格轉為回報
對數回報為rₜ = ln(Sₜ ÷ Sₜ₋₁)，簡單回報為Sₜ ÷ Sₜ₋₁ − 1。變幅小時兩者相近，變幅大時差異擴闊，不能在公式內無聲混用
對數回報可跨連續期間相加，簡單回報直接對應財富百分比變化。選擇應配合所評估的基準或產品
選擇平均值與除數
一種估算會扣除樣本平均值後計算平方偏差；另一種把短期平均值設為0並平均對數回報平方。Cboe RVOL在其指數定義採用零平均值
估算樣本平均值會佔用一個自由度，樣本方差常用N−1。定義明確的指數可用N與零平均值；離開具體用途便沒有唯一正確規則
先估算期間方差再年化
對N個零平均每日對數回報，常見公式為√((252 ÷ N) × Σrᵢ²)，再乘100以年化百分比顯示
先把期間方差乘以年化因子，再取平方根。在波幅穩定及回報不相關的假設下，每日波幅按√252而不是252縮放
採用自然日的期權指標與採用交易日的已實現指標，對周末及隔夜風險的處理不同；年化不能消除這項差異
窗口會改變問題
5日窗口反應快但雜訊多；252日較平滑，卻難以及時反映新狀態。滾動窗口共用觀察值，連續讀數會機械地相關
今日30日引伸波幅與過去30日已實現波幅只是描述性比較。檢驗風險溢價需要入場後相同期限的實現值，而它在入場時仍未知
收市至收市只是一種估算
收市回報結合交易時段及隔夜變化，卻忽略日內路徑。高低價、OHLC及日內已實現估算會使用更多資料
市場微結構雜訊、買賣價反彈、不規則成交及跳躍均可令高頻估算偏誤。觀察次數更多不代表結果必然更好
公開輸入並避免前視
說明簡單或對數回報、樣本、觀察數、年化因子、平均值、假期及缺失處理。沒有這些輸入，單獨一個波幅百分比無法重現
與引伸波幅比較時，統一相關資產、期限、終點、年化及單位。把未來窗口完成後的已實現波幅視作入場時已知，會造成前視偏差
常見問題
年化已實現波幅公式是甚麼？
常見零平均每日公式為100 × √((252 ÷ N) × Σrᵢ²)，其中rᵢ為小數對數回報；其他估算會扣除樣本平均值
應使用對數還是簡單回報？
對數回報可跨時間相加，簡單回報直接對應財富變化。兩者都可採用，但必須一致並公開規則
為何使用252？
它約等於美國市場每年的交易日數。其他市場、自然日指標及日內研究可能需要不同因子
歷史波幅與已實現波幅相同嗎？
以過去回報計算時兩詞常互換使用。「已實現」亦可指某合約未來期間完結後，在該段時間真正發生的波幅
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權